§ 7. Исследование функций и построение графиков

1. Возрастание и убывание функций
2. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной
3. Исследование функции с помощью второй производной
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Практическое применение производной
6. Вогнутость и выпуклость. Точки перегиба
7. Построение графиков функций

1. Возрастание и убывание функций

Понятие производной — одно из важнейших в математике. С помощью производной, учитывая ее механический смысл (скорость изменения некоторого процесса) и геометрический смысл (угловой коэффициент касательной), можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных стало возможным подробное исследование функций, что позволило очень точно строить их графики, находить их наибольшие и наименьшие значения и т. д.

Познакомимся с основными идеями, связанными с исследованием функций. Для этого рассмотрим график какой-нибудь функции (рис. 109).

Интуитивно ясно, что в интервалах данная функция возрастает, а в интервале — убывает.

255

В дальнейшем будем рассматривать только дифференцируемые функции.

Определение I. Функция называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует бот шее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Тогда в обоих случаях отношение приращения функции к при ращению аргумента положительно, т. е. .Далее, поскольку функция дифференцируема на рассматриваемом интервале, то, переходя к пределу при , получим , а это значит, что

Рассуждая аналогично, можно показать, что в случае убывания функции ее производная отрицательна, т.е.

Все вышеизложенное можно сформулировать как необходимый прорастания (убывания) функции. А Теорема 1. Если дифференцируемая функция _возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Геометрически утверждение теоремы означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы о. с положительным направлением оси Ох или, быть может, в отдельных точках, вроде точки М (рис. 110), касательная парал-

256

Обратное заключение также справедливо, оно выражается следующей теоремой.

9-1356 257

537. Показать, что функция в интервале

монотонно возрастают.

Мы установили, что интервалы возрастания или убывания функции совпадают с интервалами, в которых производная этой функции сохраняет знак. Следовательно, переход от возрастания к убыванию или обратно возможен лишь в точках, где производная меняет знак. Такими точками могут служить только такие точки, в которых , а также точки разрыва.

Поэтому интервалы монотонности мы получим, если разделим область определения функции на части, границами которых служат те точки, в которых , и точки разрыва.