5. Производная степенной функции

Найдем производную функции , где п — любое действительное число. Для этого применим способ, который называется логарифмическим дифференцированием. Он заключается в том, что функцию сначала логарифмируют, а затем находят произ­водную.

Прологарифмируем функцию по основанию е:

Дифференцируя обе части этого равенства, имеем

Левую часть последнего равенства можно записать в виде (так как у — сложная функция от х), а правую часть - в виде . Поэтому , т. е.

. Но и, следовательно,

откуда

Мы получили обобщение известной формулы производной сте­пени, справедливое для любого показателя.

Найдем производную функции где . Восполь- зовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получим . Итак,

279—300. Найти производные следующих функций:

279.

220

Решение. Применяем правило дифференцирования частного и формулу X:

221

Решение. Здесь следует воспользоваться правилом дифференцирования произведения и формулой X. Имеем

6. Производная показательной функции

Производную показательной функции также можно найти с по­мощью логарифмического дифференцирования.

Пусть дана функция , где a>0 и . Логарифмируя

обе части равенства по основанию е, получим . Про-

дифференцируем обе части равенства:

Откуда или . Следовательно,

Итак, производная показательной функции равна W

изведению этой функции на натуральный логарифм основан

Найдем производную функции . Для этого в формуле положим а=е; тогда получим и, следовательно,

Итак, производная функции равна самой функции

222

Производные функций найдем, применив формулу хождения производной сложной функции. В результате

производная функции , где , равна самой функции умноженной на натуральный логарифм основания и на производную промежуточного аргумента и.

Производная функции , где , равна произведе-

самой функции е^u на производную промежуточного аргу-

7. Дифференцирование тригонометрических функций

Производные функций , где

Найдем производную функции по общему правилу прохождения производной. Отметим, что функция имеет производную при любом значении аргумента х.

1⁰ Придадим аргументу х приращение ; тогда функция

получит приращение :

223

2°. Вычитая из нового значения функции первоначальное, найдем значение приращения :

Применим формулу разности синусов:

Тогда получим

3°. Находим

4°. Перейдем к пределу:

Если . Поэтому, полагая _, получим

Но , так как функция непрерывна.

а (первый замечательный предел). Значит,

, т. е.

Итак, производная функции равна

Выведем формулу дифференцирования функции _, где и — функция от х. Применяя формулу находим

224

Итак,

318—323. Найти производные следующих функций:

225

Итак,

326. Найти производную функции

327. Найти

328. Найти производную функции

330. Найти у', если

331—336. Найти производные следующих функций:

226

Следовательно,

Значит,

8* 227