Глава IV

Производная и ее приложения

§ 1. Свойства и графики основных элементарных функций

• 1. Постоянные и переменные величины

• 2. Область изменения переменной

• 3. Определение функции. Частное значение функции

• 4. Область определения функции

• 5.Способы задания функции

• 6. Основные свойства функций

• 7. Основные элементарные функции

1. Постоянные и переменные величины

Все величины, изучаемые в математике, делятся на постоян­ные и переменные.

Определение 1. Величина называется постоянной, если

она в условиях данного эксперимента сохраняет одно

и то же значение.

Например, длина радиуса одной окружности, температура кипения воды при постоянном давлении являются величинам! постоянными.

Некоторые постоянные величины сохраняют свое числовое значение при любых условиях и называются абсолютными постоянными. Примерами абсолютных постоянных являются: все числа, сумма внутренних углов треугольника, количество секунд в минуте, скорость света в пустоте.

Определение 2. Величина называется переменной, если

она в условиях данного эксперимента может принимать

различные значения.

Например, скорость камня, брошенного вверх, есть величина переменная: сначала она уменьшается до нуля, а затем, при свободном падении, увеличивается. Примерами других переменных величин могут служить температура, время и т. п.

1. Согласно закону Бойля—Мариотта, при изотермическом

164

2. Область изменения переменной

Совокупность тех значений, которые может принимать дан­ная переменная величина, принято называть областью измене­ния этой величины. Для указания этой области вводятся поня­тия интервала и отрезка.

Интервалом называется множество значений переменной х, удовлетворяющих условиям . Интервал обозначается (a, b).

Если одно из чисел а или b присоединяется к указанному

множеству значений переменной, то получается полузамкнутый

интервал (полуинтервал). Он задается неравенствами

или и обозначается соответственно (а, b) или (а, b).

Отрезком называется множество значений переменной х, удовлетворяющих условиям . Отрезок обозначается (a,b).

Если рассматривается множество всех действительных чисел, о записывается как бесконечный интервал и означает, что

Общее название для интервала, полуинтервала и отрезка — промежуток.

165

3. Определение функции. Частное значение функции

В практических задачах часто имеют дело с переменными ве­личинами, которые связаны между собой так, что значения одной величины определяют значения другой. Эта зависимость между двумя переменными величинами носит взаимный характер, и ни одна из этих величин не играет сама по себе первенствующей роли. Однако в условиях конкретной задачи часто случается так, что заданы значения некоторой величины х (независимой пере­менной) и по ним определяют соответствующие значения вели­чины у (зависимой переменной).

7. Путь, пройденный свободно падающим телом, выражается

формулой , где — ускорение свободно падающего тела,

величина для данной широты — постоянная. Указать независи­мую и зависимую переменные.

Решение. Придавая времени t различные значения, мы можем определить путь s для любого заданного промежутка времени t. Таким образом, здесь t — независимая переменная, a s — зависимая от t переменная.

8. Объем шара определяется по формуле . Указать независимую и зависимую переменные.

Решение. Здесь — величина постоянная. Придавая радиу су R различные значения, мы можем найти объем шара для каждого из заданных значений радиуса. Итак, радиус R является независимой переменной, а объем шара V — зависимой.

Независимую переменную величину, т.е. величину, для котрой мы можем задавать произвольные, интересующие нас значения, называют аргументом. Переменную величину, значения торой зависят от аргумента, называют функцией __

Так, в примере 7 переменная t является аргументом, а s - функцией. В примере 8 переменная R является аргументом, а V — функцией.

166

Определение 3. Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значе­нию х, взятому из области ее изменения, соответствует по определенному правилу единственное значение у. Чтобы показать, что у есть функция переменной х, пользуются символическими записями: и т. д.

Такая символическая запись не раскрывает самого правила зависимости у от х, и лишь устанавливает сам факт наличия зависимости.

Например, скорость свободно падающего тела — функция времени t, т. е. , а правило установления соответствия

между t и v известно:

Поверхность шара S есть функция его радиуса R, т. е.

, а правило соответствия между S и R имеет вид .

Замечание. Как видно из рассмотренных выше примеров, аргумент и функция могут обозначаться не только буквами х и у, но и другими буквами.

Частное значение функции при заданном частном зна-

чении аргумента х = а символически обозначается f(a) или у\_х=а.