Системы линейных уравнений
Определение: Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:
где числа
,
,
называются коэффициентами
системы,
числа
- свободными
членами системы.
Подлежат нахождению числа
.
Решить систему
уравнений значит найти такие числа
(
),
что при подстановке в исходную систему
уравнений каждое уравнение системы
обратится в тождество. Необязательно
решение будет единственным.
Определение: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Определение: Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему - это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Определение: Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение.
Определение: Система уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:
Однородная система
всегда совместна, т.к.
является решением системы. Это решение
называется нулевым
или тривиальным.
В Maxima решение алгебраических уравнений и их систем осуществляется функцией solve , в качестве параметров в первых квадратных скобках указывается список уравнений через запятую, во-вторых - список переменных, через запятую.
Метод Камера решения системы линейных алгебраических уравнений Линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными Рассмотрим:
Для нахождения
решений системы применим метод исключения.
Для этого умножим первое уравнение
системы на
,
а второе на
и сложим их, тогда получим
.
(1)
Аналогично, умножая
первое уравнение системы на
,
а второе - на
и складывая, получим
.
(2)
В полученных уравнениях в левой части стоят одинаковые выражения, а в правой стоят выражения по структуре похожие на выражение в левой части.
Введем обозначения:
.
- называется
определителем системы.
Введем дополнительные определители
,
.
Мы получили
выражения стоящие в правых частях
уравнений (1) и (2). Заметим, что дополнительные
определители
получаются из определителя системы
путем замены
коэффициентов при указанном неизвестном
на соответствующие свободные члены.
Уравнения (1), (2) принимают вид:
.
Возможны два варианта:
1) Если
,
то отсюда получаем, что исходная система
уравнений имеет единственное решение
(формулы Крамера).
То, что x, y являются решением системы можно проверить подстановкой их в систему.
Если
:
Если и хотя бы один из определителей
,
то система
не имеет решений
(т.е. несовместна).Если и
,
то система имеет бесчисленное
множество решений
(т.е. система неопределенная).
Доказательство: Из свойств определителя
Если и хотя бы один из определителей (пусть
),
из первого уравнения системы (1), получаем
противоречие.
Значит, система уравнений не имеет решений.
Если и , то из системы (1)
,
тождественные равенства.
Примеры.
1.
Решений нет.
Действительно, сократим первое уравнение
на 3, а второе на 4, получим
Нельзя найти такие
,
которые бы обращали в тождество оба
уравнения системы.
2.
Здесь
.
Одно из уравнений является следствием другого (например, второе получается из первого умножением на 2). Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений, содержащихся в формуле:
3.
Здесь
Система имеет единственное решение
