§6. Связь нормированных и метрических пространств
7. Нормированное пространство легко превратить в метрическое, вводя (х, у) = х – у. В самом деле:
◀ А) (х, у) = х – у = (–1)(у – х) = –1 у – х = у – х = –1 у – х = y – x = (y, x);
В) (х, у) = х – у ≥0, причем х – у = 0 x – y = θ x = y;
С) (х, у) = х – у = (x – z) + (z – y) ≤ x – z + z – y = (х, z) + (z, у). ▶
Отметим что х = (х, θ).
Обратим внимание, что метрика в линейном пространстве обладает свойствами:
А) (х + z, у + z) = (х, у) – расстояние не меняется при сдвиге;
В) (λх, λу)= λ(х, у) – расстояние есть абсолютно однородная функция. (**)
8. Если в метрическом линейном пространстве Х метрика удовлетворяет двум последним (**) требованиям, то Х можно превратить в нормированное пространство, вводя х = (х, θ).
◀ А) х = (х, θ) ≥0; х = (х, θ) = 0 x = θ;
В) λх = ( λх, θ) = (λх, λθ) = λ(х, θ) = λ х;
С) х – у = (х + y, θ) = (х + y – y, θ – y) = (х,– y) ≤ (х, θ) + (θ,–y) =
= (х, θ) + –1(y, θ) = х + у. ▶
9.
Линейное пространство со скалярным
произведением является нормированным
(х
=
)
и метрическим ((х
+ y)
= х
– у)
пространством. ◀
▶
§7. Покоординатная сходимость и сходимость по норме
Далее рассмотрим нормированное линейное пространство с метрикой (х, у) = х – у.
Сходимость последовательности векторов в такой метрике называется сходимостью по норме.
В
вещественном и комплексном конечномерном
пространстве, кроме сходимости по норме
можно ввести другое понятие сходимости.
Для любой последовательности {хm}
векторов из Х
запишем разложение векторов хm
по базису
{ek}:
.
Пусть
.
Def:
Если k
=1, 2, …, n
имеет место
,
то говорят, что имеет место покоординатная
сходимость последовательности {хm}
х0
.
Координатная сходимость в линейном пространстве является естественной в том смысле, что если два вектора близки, то естественно предположить, что и координаты их близки.
Соответственно, аналогично, естественной сходимостью в нормированном (или метрическом) пространстве является сходимость по норме (или по метрике).
§8. Связь координатной сходимости и сходимости по норме
Конечномерные нормированные линейные пространства примечательны тем, что в этих пространствах понятие сходимости по норме и координатной сходимости эквивалентны.
10. Если {хm} сходится покоординатно, то она сходится и по норме.
◀ Пусть
║хm
– х0║
=
.
▶
11. Если в конечномерном нормированном пространстве последовательность векторов ограничена по норме, то ограничены и числовые последовательности всех координат в разложении векторов по любому базису. ◀ ▶
12. В конечномерном нормированном пространстве из сходимости по норме следует координатная сходимость. ◀ ▶