- •Жордановы исключения
- •Шаг жорданова исключения
- •Решение систем линейных уравнений с помощью жордановых исключений Модифицированные жордановы исключения
- •Решение
- •1. Запишем слау в форме жордановой таблицы
- •2. Проделать возможное число модифицированных жордановых исключений
- •В результате получим следующую таблицу
- •Пример 2
- •Решение единственное Пример 3
- •Пример 4. Найти опорное решение
- •Правило решения слау
Решение единственное Пример 3
х1
+
х2
+
х3
=
1
3х1
+
4х2
+
5х3
=
2
4х1
+
5х2
+
6х3
=
4
|
1 |
-х1 |
-х2 |
-х3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
4 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
-х2 |
-х3 |
х1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
-х3 |
х1 |
1 |
-1 |
0 |
-1 |
0 |
х2 |
0 |
2 |
Система несовместна т.к. во 2-й строке свободный член равен (-1), а все остальные элементы нули.
Пример 4. Найти опорное решение
2х1
-
х2
+
х3
- х4
=
3
2х1
-
х2
+
х4
=
2
3х1
- х3
-
х4
=
-1
1. Т.к. в исходной таблице все свободные члены должны быть неотрицательны, то третье уравнение умножим на (-1).
2. В качестве разрешающего элемента можно взять любой столбец, содержащий хотя бы один положительный элемент.
|
1 |
- х1 |
-х2 |
-х3 |
- х4 |
0 |
3 |
2 |
-1 |
1 |
- 1 |
0 |
2 |
2 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
-3 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
- х1 |
-х2 |
- х4 |
0 |
2 |
5 |
-1 |
- 2 |
0 |
2 |
2 |
-1 |
1 |
х3 |
1 |
-3 |
0 |
1 |
Разрешающую строку в первой таблице определим по наименьшему отношению свободных членов к положительным элементам третьего столбца (минимальное симплексное отношение).
min (3/1, 1/1).
Во - второй таблице разрешающим выбран первый столбец, а строка из отношений
min( 2/5, 2/2)
|
1 |
- х2 |
- х4 |
х1 |
2/5 |
-1/5 |
- 2/5 |
0 |
6/5 |
-3/5 |
9/5 |
х3 |
11/5 |
-3/5 |
-1/5 |
|
1 |
- х2 |
х1 |
2/3 |
-1/5 |
х4 |
2/3 |
-3/5 |
х3 |
7/3 |
-3/5 |
При х2 =0 опорное решение (2/3, 0, 7/3, 2/3)
Правило решения слау
Для отыскания опорного решения СЛАУ необходимо:
- представить СЛАУ в виде жордановой таблицы так, чтобы все свободные члены были неотрицательными. Если в каком - либо уравнении есть отрицательный свободный член, то это уравнение надо умножить на (-1).
- разрешающие элементы надо выбирать по правилу: а) положительные числа основной части таблицы, лучше равные 1;
б) если таких элементов несколько, то вычислить минимальное симплексное отношение: отношение свободных членов к соответствующим положительным элементам столбца, выбранного разрешающим и выбрать наименьшее отношение;
- произвести возможное число жордановых исключений, вычеркивая после каждого шага разрешающий столбец и строку, если они целиком состоят из нулей.
- искомое опорное решение найдется приравниванием верхних (свободных) переменных нулю, а базисных (боковых) - свободным членам.
- проанализировать полученное решение:
если появится в ходе исключений строка, все элементы которой равны 0, а свободный член нет, то система несовместна;
в противном случае система совместна;
если в верхней строке (заглавной) последней таблицы останется хотя бы одна переменная, то система имеет бесчисленное множество решений;
если все переменные окажутся в левом заглавном столбце, то решение единственное.
Выводы
Поскольку число переменных n в системе больше числа уравнений m то, одно из возможных решений можно найти, если (n – m) переменных положить равными нулю. Полученная система из m уравнений и m неизвестных должна иметь определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равный нулю. Если это условие не выполняется, то нулю приравниваются другие переменные.
Базисом называется любой набор m переменных таких, что определитель, составленный из коэффициентов, при этих переменных не равен нулю. Эти m переменных называются базисные переменные. Остальные – не базисные свободные.
Т.о., если положить все свободные переменные равными нулю и решить систему из m уравнений и m неизвестных, то получим базисное решение.
Неотрицательные базисные решения называется опорными планами.