Жордановы исключения

При переходе от одного базисного решения к другому нам необходимо выражать одни переменные через другие. Т.е. зависимые переменные делать независимыми и наоборот.

Рассмотрим пример:

Дана система:

y₁= 2х₁ - 5х₂ + 4х₃ (1)

y₂= 8х₁ + 2х₂ - 3х₃ (2)

- решим уравнение (2) относительно х₃

- подставим решение в (1)

Получим систему уравнений:

Перепишем (1) и (2) и эту систему в виде таблиц:

	х1	x2	y2
y1
х3

y₁= 2х₁ - 5х₂ + 4х₃

y₂= 8х₁ + 2х₂ - 3х₃

	х1	x2	х3
y1	2	- 5	4
y2	8	2	- 3

Обратите внимание коэффициенты, стоящие в ячейках второй таблицы вычисляются по правилу диагоналей.

«Элемент b_ij равен разности произведения элементов, расположенных на главной диагонали и побочной диагонали, деленной на разрешающий элемент».

Элемент -3 называется разрешающим, т.е. это элемент, который находится на пересечении строки и столбца, с которыми произведен шаг жорданова исключения.

Операция, произведенная над таблицей 1 с разрешающим элементом называется –

Шаг жорданова исключения

• разрешающий элемент заменяется обратной величиной

• остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и меняют знаки

• остальные элементы разрешающего столбца делят на разрешающий элемент,

• прочие вычисляются по формуле (или по правилу диагоналей)

		bij	ais
		akj	ais	1	- 4
			0

Главная диагональ соединяет преобразуемый и разрешающий элементы. Другая диагональ – побочная.

Решение систем линейных уравнений с помощью жордановых исключений Модифицированные жордановы исключения

Часто пользуются модифицированными жордановыми исключениями. В этом случае жордановы таблицы отличаются тем, что в них

• переменные в заглавной строке записываются со знаком минус (независимые переменные),

• i-й шаг жорданова исключения переводит эту исходную таблицу в любую по правилу:

- разрешающий элемент заменяется обратной величиной

- остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент

- остальные элемента разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знаки

- прочие элементы вычисляются по формуле

После каждого шага жордановых исключений вычеркивается разрешающий столбец и строки, содержащие целиком нулевые элементы.

Пример 1. Решить систему, пользуясь модифицированными жордановыми исключениями. Не забывать пересчитать свободные члены.

х₁+2х₂ + х₃ - 6х₄ = - 3

х₁ + х₂ + х₃ - 4х₄ = 0

х₁ + х₃ - 2х₄ = 3