§3. Зависимость удельного сопротивления металлов от температуры

Проанализируем полученную в теории Друде-Лоренца формулу (2) для удельного сопротивления:

(2).

З ависимость от температуры «спрятана» во времени свободного пробега , поскольку концентрация n свободных электронов есть неизменная для данного рода металла величина. Среднее время свободного пробега, в свою очередь, зависит от средней длины свободного пробега l и средней тепловой скорости электронов u. В теории Друде-Лоренца предполагается, что длина свободного пробега l по порядку величины равна периоду решетки (10^-10–10^-9 м), а средняя скорость теплового движения электронов зависит от температуры так же, как скорость молекул идеального газа: м/с (строго говоря, это выражение определяет среднеквадратичную скорость; здесь Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана). Тепловая скорость электронов намного больше тепловой скорости молекул, т.к. масса электронов в тысячи раз меньше. Среднее время свободного пробега , очевидно, равно отношению :

,

Поэтому, согласно этой теории, должно быть .

Опыт подтверждает, что с ростом температуры удельное сопротивление металлов растет. Однако наблюдается не корневая зависимость, а прямая пропорциональность температуре в довольно широком температурном диапазоне (прямая 1 на графике R(T)).

Д ля расчета зависимости удельного сопротивления металла от температуры обычно используют формулу:

,

г де t – температура в градусах Цельсия, – удельное сопротивление при 0 ⁰С, – температурный коэффициент сопротивления (значения и для различных металлов даются в таблицах).

Демонстрация: увеличение сопротивления металлической проволоки при нагревании.

Итак, теория Друде-Лоренца не может объяснить наблюдаемую на опыте зависимость сопротивления металлов от температуры.

Другая проблема этой теории – неожиданно большие числовые значения удельных сопротивлений , рассчитанных согласно формуле (2).

Позднее квантовая теория установила, что электронный газ не подчиняется законам классической динамики и статистики, как предполагалось в теории Друде-Лоренца. Поэтому, во-первых, к нему неприменима та же формула расчета средней тепловой скорости, что и для молекул, а во-вторых – длина свободного пробега электронов значительно больше периода решетки, и это связано с волновыми свойствами электронов.

Формула (2) для удельного сопротивления остается верной, но время свободного пробега, согласно квантовой теории, гораздо больше.

О сопротивлении металлов при .

О пыт показывает, что при очень низких температурах (порядка десятков градусов Кельвина) зависимость изменяется. У некоторых металлов сопротивление стремится к конечному пределу при (кривая а на рисунке). У многих металлов при температуре порядка нескольких градусов Кельвина сопротивление вдруг исчезает вообще (кривая b). Это явление было открыто в 1911 г. Камерлинг-Оннесом и названо сверхпроводимостью. Только в конце 1950-х была создана теория сверхпроводимости. Это квантовое явление, не объяснимое с позиций классической физики.