§ 4. Граничные условия для и .
Как изменяются и на границе раздела двух диэлектриков (или диэлектрика и вакуума)?
Будем считать, что на границе нет сторонних зарядов.
1. Возьмем контур АВСD,
стороны AB и СD
которого прилегают очень близко к
поверхности раздела, а стороны ВС и AD
очень малы. Пусть длина сторон AB
и СD равна
.
Циркуляция вектора
по этому контуру определяется значениями
касательных (тангенциальных) его
составляющих
и
:
,
откуда
получаем:
.
Тангенциальная составляющая непрерывна на границе диэлектриков.
2. Окружим кусочек границы замкнутой
поверхностью в виде малого цилиндра,
основания S которого
перпендикулярны границе, а площадь
боковой поверхности стремится к нулю.
Пусть
- нормаль к поверхности раздела,
направленная из среды 1 в среду 2. Поток
вектора
через торцы цилиндра определяется
нормальными составляющими
и
.
Запишем теорему Остроградского-Гаусса
для вектора
:
(т.к. внутри поверхности нет стороннего
заряда). Поэтому
.
Нормальная составляющая непрерывна на границе диэлектриков.
Применим эти граничные условия, чтобы выяснить, как меняется направление линий и на границе раздела двух диэлектриков.
Преломление линий и на границе раздела
Покажем, что линии и испытывают на границе излом, если они не перпендикулярны к поверхности раздела (т.е. эта поверхность не эквипотенциальна).
Для простоты рассмотрим границу раздела диэлектрика с вакуумом.
Пусть
- поле в вакууме, причем линии напряженности
подходят к границе под углом
.
Найдем напряженность
в диэлектрике и угол
,
образуемый полем в диэлектрике с
границей. Запишем граничные условия:
,
откуда следует
(1)
(2).
Эти формулы показывают, что тангенциальная составляющая не изменилась, а нормальная уменьшилась в раз, как изображено на рисунке.
Как видно из рисунка,
,
.
С помощью (1) и (2) находим:
.
Угол, образуемый линиями напряженности с нормалью к поверхности раздела, увеличился.
Аналогичные рассуждения можно провести
для вектора
:
его нормальная составляющая не изменяется
на границе, а тангенциальная увеличивается
в
раз (это следует из условия
,
или
,
т.е.
).
Найдем теперь модуль напряженности в диэлектрике:
<
.
Напряженность в диэлектрике меньше, чем в вакууме, но не в раз.
Н а поверхности диэлектрика образуется связанный заряд. Часть линий напряженности заканчивается на связанных зарядах, как показано на рисунке.
Линии
связанных зарядов «не замечают», поэтому
после преломления они становятся гуще:
>
.
Докажем теорему:
Если поверхность однородного незаряженного диэлектрика совпадает с эквипотенциальной поверхностью поля, созданного сторонними зарядами, то напряженность поля в диэлектрике в раз меньше поля тех же сторонних зарядов, но в отсутствие диэлектрика.
Доказательство простое.
Поверхность эквипотенциальна, поэтому
,
а значит и
,
перпендикулярны к ней. Нормальная
составляющая
непрерывна:
.
Это значит, что
.
Но
(вакуум),
(диэлектрик),
Поэтому
,
что и требовалось доказать.