Связь между векторами и , и .

(для однородных изотропных диэлектриков)

Мы уже знаем, что

. (5)

Из определения ( ) и формулы (5) получаем:

. (6)

Назовём безразмерную величину ( ) диэлектрической проницаемостью :

. (7)

Она, как и восприимчивость диэлектрика , зависит от рода вещества (для некоторых веществ – еще от температуры). Её значения дают в таблицах.

Тогда формула (6) примет вид:

. (8)

Из формул (5), (7) и (8) можем получить связь векторов и :

. (9)

Выпишем еще раз все основные формулы в рамочке:

Эти формулы позволяют нам, зная один из этих векторов, найти два другие вектора, а также поверхностную плотность связанного заряда.

Мы видим, что векторы , и коллинеарны – но это только в однородных изотропных диэлектриках.

§ 3. Примеры расчета поля в диэлектрике

1. Диэлектрическая пластина в плоском конденсаторе

Очевидно, линии и перпендикулярны пластинам. Линии начинаются и заканчиваются на сторонних зарядах обкладок (на рисунке – черные), линии начинаются и кончаются на любых зарядах – как сторонних, так и связанных (на рисунке - зелёные).

Шаг 1. Выберем мысленную поверхность в виде цилиндра (на рисунке – красный пунктир), основания которого параллельны пластинам, а боковая поверхность параллельна линиям . По теореме Остроградского-Гаусса

, или (S – площадь оснований, - плотность заряда на пластине конденсатора). Откуда находим:

. (1)

Шаг 2. Зная D, находим Е и Р:

вне диэлектрика; внутри диэлектрика.

Обратите внимание: Е в диэлектрике слабее в раз.

(2)

Шаг 3. Зная Р, находим плотность связанного заряда на диэлектрике:

. (3)

Почему в формуле (3) появился знак минус? Как видно из рисунка, на поверхности диэлектрика, примыкающей к положительно заряженной обкладке, векторы и , а значит, и , направлены внутрь диэлектрика, т.е. проекция на внешнюю нормаль отрицательна. Связанный заряд на поверхности диэлектрика противоположен по знаку заряду обкладки, к которой он примыкает.

2. Проводник произвольной формы в однородном диэлектрике

Пусть плотность заряда на проводнике равна .

Линии и перпендикулярны поверхности проводника.

Выберем мысленную поверхность в виде очень маленького цилиндра (на рисунке – красным), основания которого параллельны поверхности проводника, а боковая поверхность параллельна линиям . По теореме Остроградского-Гаусса (dS – площадь оснований), откуда

.

Далее, как и в предыдущем примере, находим Е и Р в диэлектрике:

,

И плотность связанного заряда на поверхности диэлектрика, примыкающей к проводнику:

.

Полученные формулы справедливы для проводника любой формы, погруженного в диэлектрическую среду.

Найдем еще суммарный заряд на границе проводник-диэлектрик, т.е. сумму стороннего заряда на проводнике и связанного на диэлектрике:

σ_общ .

Мы видим, что суммарный заряд на каждом элементе поверхности в раз меньше заряда проводника, поэтому и поле Е в раз меньше, чем было бы в вакууме.

См. также решении задачи 3.9.