3.4. Примеры моделирования cлучайныx объектов

3.4.1. Модель отказа прибора. Прибор состоит из двух блоков, которые определяют его безотказную работа. Вероятность безотказной работы первого блока равна p₁, а второго — p₂. Прибор испытывался в течение заданного времени Т, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя. Найти вероятность того, что отказал только первый блок, в второй исправен.

Решение. Модель отказов работы прибора определена следующими гипотезами:

H₀={оба узла исправны};

H₁={первый узел отказал, а второй исправен};

H₂={первый узел исправен, а второй отказал};

H₃={оба узла отказали}.

Вероятности гипотез:

P(H₀)=p₁p₂; P(H₁)=(1‑p₁)p₂; P(H₂)=p₁(1‑p₂);

P(H₃)=(1‑p₁)(1‑p₂).

Событие А состоит в том, что прибор отказал. В результате получаем вероятности:

P(А/H₀)=p₁p₂; P(А/H₁)=P(А/H₂)=P(А/H₃)=1.

Согласно формуле Бейеса, модель отказа первого блока и исправности второго блока прибора определится по формуле

.

3.4.2. Модель контроля качества изделий. Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью p имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контроллеров. Первый контроллер обнаруживает дефект с вероятностью p₁, а второй — с вероятностью p₂. Если в цехе изделие не забраковано, то оно поступает в ОТК завода, где дефект может быть обнаружен с вероятностью p₃. Найти модель обнаружения дефекта изделия.

Решение. До опыта возможны четыре гипотезы:

H₀={изделие не забраковано};

H₁={изделие забраковано первым контроллером};

H₂={изделие забраковано вторым контроллером };

H₃={изделие забраковано ОТК завода}.

Событие А состоит в том, что изделие забраковано. Так как вероятность P(А/H₀)=0, то получаем вероятности гипотез:

P(H₁)=pp₁/2; P(H₂)=pp₂/2; P(H₃)=p[1‑(p₁+p₂)/2]p₃.

Согласно формуле Бейеса, модель обнаружения дефекта определится по формулам

;

;

.

3.4.3. Модель пуска двигителя. Производится ряд попыток пуска двигителя. Каждая попытка заканчивается включением двигателя независимо от других с вероятностью p=0,6. Вероятность неудачного пуска q=1‑p. Каждая попытка занимает время . Найти модель для определения времени Т, которое потребуется для запуска двигателя.

Решение. Число произведенных попыток пуска двигателя является случайной величиной X, распределенной по геометрическому закону, начинающемуся со значения . Модель времени пуска, как Т=X, имеет распределение

Т:		2	3	…	m	…	;
	p	qp	q2p	…	qm-1p	…

Математическое ожидание времени пуска M[T]=M[X]=/p. Дисперсия распределения определится D[T]=²D[X]=²q/p².

3.4.4. Модель браковки шариков. Браковка шариков для подшипников проводится следующим образом. Если шарик не проходит через отверствие диаметром d₁, но проходит через отверствие диаметром d₂>d₁, то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика D есть нормально распределенная случайная величина с характеристиками m_d=(d₁+d₂)/2 и _d=(d₂‑d₁)/4. Найти модель, описывающую вероятность p того, что шарик будет забракован.

Решение. Участок значений (d₁,d₂) симметричен относительно m_d. По формуле P{|X‑m_d|<l}=2Ф(l/), где l=(d₂‑d₁)/2 — половина длины участка, находим вероятность того, что шарик не будет забракован:

P{|D‑m_d|<(d₂‑d₁)/2}= .

Тогда вероятность p определится по формуле

.

3.4.5. Модель проезда через регулируемый перекресток. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и половину минуты — красный, затем опять одну минуту горит зеленый свет и половину минуты — красный и т.д. Найти модель, отображающую вероятность проезда светофора при условии, что момент проезда автомашины через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периоду смены цветов в светофоре.

Решение. Период смены цветов в светофоре раве 1+0,5=1,5 мин. Для того чтобы машина проехала через перекресток, не останавливаясь, достаточно, чтобы момент проезда перекрестка пришелся на интервал времени (0; 1). Для случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0; 1,5), ), вероятность того, что она попадет на участок (0; 1), равна 2/3.

Время ожидания Т_ож есть смешанная случайная величина; с вероятностью 2/3 она равна нулю, а с вероятностью 1/3 принимает с одинаковой плотностью вероятности любое значение между 0 и 0,5 мин. График функции распределения показан на рис. 3.8.

Среднее время ожидания у перекрестка определится по формуле

М[Т_ож]=0×2/3+0,25×1/30,083 мин.

Рис. 3.8

Дисперсия времени ожидания определится по формуле

D[Т_ож]=₂[Т_ож] – (М[Т_ож])²=0²×2/3+0,25× -

-(0,083)²0,0208 мин²; 0,144 мин.