Практическая работа № 3 Расчеты на прочность и жесткость при кручении круглого бруса
Цель работы: усвоение методики расчета на прочность и жесткость прямых стержней
(валов) при кручении.
Задание: Для одной из схем (рис. 3.2, табл. 3.1) построить эпюру крутящих моментов;
определить диаметр вала на каждом участке и полный угол закручивания.
Полученное расчетное значение диаметра (в мм) округлить до ближайшего
большего числа, оканчивающегося на 0, 2, 5, 8 или по СТ СЭВ 208—75. Принять
допускаемое напряжение [τ] = 30 МПа, модуль упругости сдвига
G = 0, 8·105 Н/мм2, допускаемый угол закручивания [φо] = 1,0 град/м.
Теоретическое обоснование
Кручением называют такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только одни внутренним силовой фактор — крутящий момент МК.
Крутящий момент в каком-либо поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на оставленную часть вала в плоскостях перпендикулярно оси вала и приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.
При вычислении крутящих моментов целесообразно установить правило знаков: рассматривая любую из оставленных частей бруса со стороны сечения, внешние моменты, действующие по ходу часовой стрелки, считать положительными, действующие против хода часовой стрелки — отрицательными.
Условие прочности при кручении с учетом принятых обозначений формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений и записывается в виде
(3.1)
Условие жесткости при кручении
;
G
≈ 0,4E
(3.2)
где G — модуль упругости при сдвиге, Н/м2, Н/мм2;
Е — модуль упругости при растяжении, Н/м2, Н/мм2.
[φо] — допускаемый угол закручивания, [φо] = 0, 54-1 град/м;
Jp — полярный момент инерции в сечении, м4, мм4.
Произведение GJр называется жесткостью сечения при кручении.
Порядок выполнения работы
Определить вращающие моменты на шкивах
Используя метод сечений, найти величину крутящих моментов на каждом участке
Построить эпюру крутящих моментов по полученным данным
Из условия прочности определить диаметры вала на каждом участке
Вычислить полярные моменты инерции
Определить углы закручивания и вычисляем полный угол закручивания
Ответить на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы
При каком нагружении прямой брус испытывает деформацию кручения?
Как вычисляется скручивающий момент, передаваемый шкивом по заданной мощности и числу оборотов в минуту?
Что представляют собой эпюры крутящих моментов и как они строятся?
Что называется полным и относительным углом закручивания бруса?
Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого бруса при кручении и как они направлены?
Что называется жесткостью сечения при кручении?
Что называется полярным моментом сопротивления, в каких единицах он выражается и чему равен?
Как производится расчет скручиваемого бруса на прочность?
Как производится расчет скручиваемого бруса на жесткость?
Пример выполнения
Для стального вала (рис. 3.1, а) определить из условия прочности требуемые диаметры каждого участка и углы закручивания этих участков. Угловую скорость вала принять ω = 100 рад/с, допускаемое напряжение [τ] = 30 МПа, модуль упругости сдвига
G = 0, 8·105 Н/мм2, допускаемый угол закручивания [φо] = 1,0 град/м.
Рис. 3.1
Дано: ω = 100 рад/с, Р1 = 30 кВт, Р2 = 10 кВт, Р3 = 12 кВт, Р4 = 8 кВт, допускаемое напряжение [τ] = 30 МПа, модуль упругости сдвига G = 0, 8·105 Н/мм2, допускаемый угол закручивания [φо] = 1,0 град/м.
Решение.
Вал вращается с постоянной угловой скоростью, следовательно, система вращающих моментов уравновешена. Мощность, подводимая к валу без учета потерь на трение, равна сумме мощностей, снимаемых с вала:
Р1 = Р2 + Р3 + Р4 = 10 + 12 + 8 = 30 кВт.
Определяем вращающие моменты на шкивах:
М1 = Р1/ω = 30·103/100 = 300 Н·м;
М2 = Р2/ω = 10·103/100 = 100 Н·м;
М3 = Р3/ω = 12·103/100 = 120 Н·м;
М4 = Р4/ω = 8·103/100 = 80 Н·м.
Для построения эпюр крутящих моментов проведем базовую (нулевую) линию параллельно оси вала и, используя метод сечений, найдем значения крутящего момента на каждом участке, отложим найденные значения перпендикулярно базовой линии.
Вал имеет три участка, границами которых являются сечения, в которых приложены внешние моменты. В пределах каждого участка значение крутящего момента сохраняется постоянным (рис. 3.2,б):
МI z = - М4 = -80 Н·м;
MIIz = - M4 - M3 = -80 - 120= -200Н·м;
МIIIz = -М4 – Мз + М1 = - 80 - 120 + 300 = 100 Н·м.
МIYz = -М4 – Мз + М1 – M2 = - 80 - 120 + 300 – 100 = 0 Н·м
Из условия прочности диаметр вала на первом участке определяем по формуле
откуда
На втором участке
На третьем участке
По условию прочности принимаем диаметр вала равным 35 мм на всех участках.
Полярный момент инерции сечения вычисляется по формуле:
JP = πd4/32
Вычисляем полярные моменты инерций сечений вала:
JP = 0.1·354 =15·104 мм4
Угол закручивания вала:
По условию жесткости угол закручивания
Условие прочности выполняется
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9 |
10 |
|
|
Рис. 3.2
Таблица 3.1
-
Вариант
Параметры
Рис.
a = b = с, м
Р1,кВт
Р2,кВт
Р3,кВт
1
1
1,1
2,1
2,6
3,1
2
2
1,2
2,2
2,7
3,2
3
3
1,3
2,3
2,8
3,3
4
4
1,4
2,4
2,9
3,4
5
5
1,5
2,5
3,0
3,5
6
6
1,6
2,6
3,1
3,6
7
7
1,7
2,7
3,2
3,7
8
8
1,8
2,8
3,3
3,8
9
9
1,9
2,9
3,4
3,9
10
10
2,0
3,0
3,5
4,0
11
1
1,1
3,1
3,4
4,1
12
2
1,2
3,2
3,3
4,2
13
3
1,3
3,3
3,2
4,3
14
4
1,4
3,4
3,1
4,5
15
5
1,5
3,5
2,8
2,9
16
6
1,3
2,1
2,6
3,1
17
7
1,4
2,2
2,7
3,2
18
8
1,5
2,3
2,8
3,3
19
9
1,6
2,4
2,9
3,4
20
10
1,7
2,5
3,0
3,5
21
1
1,8
2,6
3,1
3,6
22
2
1,9
2,7
3,2
3,7
23
3
2,0
2,8
3,3
3,8
24
4
1,1
2,9
3,4
3,9
25
5
1,2
3,0
3,5
4,0
26
6
1,3
3,1
3,4
4,1
27
7
1,4
3,2
3,3
4,2
28
8
1,5
3,3
3,2
4,3
29
9
1,4
3,4
3,1
4,5
30
10
1,9
3,5
2,8
2,9