6.6. Метод аналитического выравнивания рядов динамики.

Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени: y=f(t).

При этом методе исходные (фактические) уровни ряда динамики заменяются теоретическими или расчетными , которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики.

В практике экономических исследований применяется аналитическое выравнивание по любому рациональному многочлену.

Правильно установить тип кривой, тип аналитической зависимости от времени - является одной из трудных задач статистики. К этому следует подходить с большой осторожностью. Аналитическое выравнивание состоит в подборе для данного ряда динамики теоретической кривой, наилучшим образом описывающей эмпирические данные. Это могут быть различные функции: полиномы степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.

Полиномы имеют следующий вид:

полином первой степени (прямая);

полином второй степени (парабола 2-го порядка);

полином n-ой степени .

Наиболее приближенный и простой способ определения формы теоретической кривой – графический.

После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Рассмотрим простейший способ выравнивания с помощью прямой, например,

,

где - коэффициенты, определяемые в методе аналитического выравнивания;

- моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики, образующие прямую, определяемую коэффициентами .

Расчет коэффициентов ведется на основе метода наименьших квадратов – следует добиться, чтобы суммарное отклонение всех теоретических точек, рассчитанных по уравнению от фактических (экспериментальных) значений было наименьшим:

Если, вместо подставим (или соответствующее выражение для других математических функций), получим:

Это функция двух переменных (все и известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций двух переменных, получают значения коэффициентов .

Для прямой:

где n — число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .

Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы , то записанные выражения для определения упрощаются:

Пример.

Нечетное число уровня ряда.

1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	абсолютное время
-3	-2	-1	0	1	2	3	условное время

Чётное число уровней ряда.

1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	абсолютное время
-7	-5	-3	-1	1	3	5	7	условное время

В обоих случаях .

Рассмотрим пример аналитического выравнивания ряда по прямой.

Выполним аналитическое выравнивание ряда, отражающего производство стали в стране по годам (млн. т).

2000	2001	2002	2003	2004
141,3	144,8	146,7	151,5	149,0

В качестве математической функции, отражающей тенденцию развития, выбирается прямая , определение производится для условного времени, в результате , .

Проведенный расчет представим в таблице:

Таблица 44

Год	Производство стали, млн.т	Условное время	Теоретические уровни
2000	141,3	-2	142,2
2001	144,8	-1	144,4
2002	146,7	0	146,7
2003	151,5	1	148,9
2004	149,0	2	151,1

Аналитическое выравнивание рядов динамики, как и другие методы выделения в рядах динамики основной тенденции развития, являются простейшими методами статистического прогнозирования. Используя выделенный тренд в предыдущем примере, выполним прогноз уровня производства стали в стране в 2007 г. пользуясь принятой в этом примере условной шкалой времени 2007 году соответствует .

Подставляя это значение в уравнение тренда , получим, что в 2007 г. ожидается производство стали на уровне 157,7 млн.т.

В уравнении тренда, выраженного прямой линией, важное значение с экономической точки зрения имеет коэффициент . Он показывает среднегодовой уровень прироста показателя рассчитываемого в уравнении регрессии и имеет большое значение для прогнозных расчетов. В рассмотренном примере означает, что средний прирост производства стали в стране составил за исследуемый период 2,21 млн.т в год.