4.7. Средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя хронологическая.
Средняя геометрическая также может быть простой и взвешенной. Применяется главным образом при нахождении средних коэффициентов (темпов) роста.
Средняя геометрическая простая находится по формуле
,
где
- обозначает произведение вариант;
а средняя геометрическая взвешенная определяется по формуле
.
Сфера применения этой средней будет рассмотрена в теме «Ряды динамики».
Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда приходится осереднять величины, входящие в исходную информацию в виде квадратических функций.
Простая средняя квадратическая
,
средняя квадратическая взвешенная
.
Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.
Средняя хронологическая используется для определения среднего значения уровня ряда динамики за определенный период. Этот вид средней и формулы для ее расчета будут рассмотрены в теме «Ряды динамики».
4.8. Структурные средние.
Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода, медиана, а также квартили и децили.
Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.
Рассмотрим пример.
Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:
размер обуви |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
и выше |
число пар, в % к итогу |
— |
1 |
6 |
8 |
22 |
30 |
20 |
11 |
1 |
1 |
— |
В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер обуви пользовался наибольшим спросом покупателей.
Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:
где
- начальное значение интервала, содержащего
моду;
- величина модального
интервала;
- частота модального
интервала;
- частота интервала,
предшествующего модальному;
- частота интервала,
следующего за модальным.
Рассмотрим пример.
Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:
Таблица 28.
Группы предприятий по числу работающих, чел |
Число предприятий |
100 — 200 |
1 |
200 — 300 |
3 |
300 — 400 |
7 |
400 — 500 |
30 |
500 — 600 |
19 |
600 — 700 |
15 |
700 — 800 |
5 |
ИТОГО |
80 |
В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.
Введем следующие обозначения:
=400, =100, =30, =7, =19
Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:
чел.
Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).
Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8, 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана - 7 лет. По обе стороны от нее находится одинаковое число рабочих.
Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Пусть теперь будет не пять человек в бригаде, а шесть, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 6 и 7. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:
Ме = (6 + 7) / 2 = 6,5 лет.
Рассмотрим пример расчета медианы в дискретном ряду.
Определим медиану заработной платы рабочих по данным следующей таблицы.
Таблица 29.
Месячная з/п , руб. |
Число рабочих |
Сумма накопленных частот |
110 |
2 |
2 |
130 |
6 |
8 (2+6) |
160 |
16 |
24 (8+16) |
190 |
12 |
— |
220 |
4 |
— |
|
40 |
|
Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила ее половина - 20.
Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 160 руб., и есть медиана ряда.
Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.
Рассмотрим пример.
Таблица 30.
Месячная з/п, руб. |
Число рабочих |
Сумма накопленных частот |
110 |
2 |
2 |
130 |
6 |
8 (2+6) |
160 |
12 |
20 (8+12) |
190 |
16 |
— |
220 |
4 |
— |
|
40 |
|
Медиана будет равна:
Ме = (160 + 190) / 2 = 160 руб.
Рассмотрим расчет медианы в интервальном вариационном ряду.
Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле
где
— начальное значение интервала,
содержащего медиану;
—
величина медианного
интервала;
—
сумма частот ряда;
— сумма накопленных
частот, предшествующих медианному
интервалу;
— частота медианного
интервала.
Рассмотрим пример.
Таблица 31.
Группы предприятий по числу рабочих |
Число предприятий |
Сумма накопительных частот |
100 — 200 |
1 |
1 |
200 — 300 |
3 |
4 (1+3) |
300 — 400 |
7 |
11 (4+7) |
400 — 500 |
30 |
41 (11+30) |
500 — 600 |
19 |
— |
600 — 700 |
15 |
— |
700 — 800 |
5 |
— |
ИТОГО |
80 |
|
Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.
Известно, что:
Следовательно,
.
Квартили и децили.
В дополнение к медиане для характеристики структуры совокупности исчисляются квартили. Квартили - порядковые характеристики, отделяющие четверти ранжированных совокупностей. Децили делят ряд на десять равных частей.
Первый квартиль или нижний отделяет четверть ранжированной совокупности снизу и вычисляется для интервального ряда распределения по формуле:
Медиану можно рассматривать как второй квартиль Q2 = Me
Верхний квартиль
Для дискретного ряда распределения первый и третий квартили исчисляют аналогично медиане, только в этом случае рассматривают соответственно первую и вторую половины всей совокупности для определения средины.