2.6. Условия независимости криволинейного

интеграла II рода от пути интегрирования

Пусть и – две произвольные точки односвязной области плоскости . Точки и можно соединить различными линиями. По каждой из этих кривых интеграл имеет различные значения. Если же его значения по всевозможным кривым одинаковы, то говорят, что интеграл не зависит от пути интегрирования. В этом случае для интеграла достаточно отметить лишь его начальную точку и его конечную точку пути. Такой интеграл обозначают:

. (2.20)

Сформулируем в виде теоремы без доказательства условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависит от пути интегрирования.

Теорема 2.3 (признак независимости криволинейный интеграл II рода от пути интегрирования). Для того, чтобы криволинейный интеграл II рода не зависел от пути интегрирования в односвязной области , в которой функции и непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие:

. (2.21)

Пример 5. Вычислить .

 Решение. Так как , а , то и , тогда . Следовательно, по теореме 2.3 можно выбрать любой удобный путь интегрирования. От точки к точке будем двигаться по отрезкам, параллельным координатным осям (рис. 2.7), так как вычисление исходного интеграла в этом случае самое простое (п. 2.4).

Рис. 2.7

Следовательно, по свойству  4 криволинейного интеграла II рода

(п. 2.3) имеем . Так как отрезок задается уравнением , то , а , поэтому . Так как отрезок задается уравнением , то , а , тогда . Окончательно имеем: .

Ответ:  . 

Рассмотрим еще две теоремы.

Терема 2.4. Если выполняется условие (2.21), то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции , т. е. имеет место равенство:

. (2.22)

Тогда из равенства (2.22), согласно (2.20) и свойства определенного интеграла, получим:

,

т. е. . (2.23)

Формула (2.23) называется обобщенной формулой Ньютона-Лейб-ница для криволинейного интеграла II рода от полного дифференциала.

Теорема 2.5. Если подынтегральное выражение + есть полный дифференциал и путь интегрирования – замкнутая кривая, то

. (2.24)

Замечания

1. Утверждения, сформулированные в теоремах  2.3 – 2.5, равно-

сильны между собой, то есть, выполнение любого из них влечет за собой выполнение остальных.

2. Чтобы не путать переменную интегрирования с верхним пределом , переменную интегрирования договоримся обозначать другой буквой (например, , , и т. д.).

3. Функцию , удовлетворяющую условию (2.21), можно найти, используя формулу:

. (2.25)

В качестве начальной точки обычно берут начало координат .

4. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интеграла II рода по пространственной кривой  . Условие (2.21), равенство (2.22), формулы (2.23) и (2.25) имеют соответственно вид:

, , , (2.26)

, (2.27)

, (2.28)

(2.29)

Пример 6. Показать, что выражение является полным дифференциалом функции . Найти функцию .

 Решение. Проверим выполнимость условия (2.21). Так как , то и так как , то . Следовательно, условие (2.21) выполняется и по теореме 2.4 исходное выражение является дифференциалом некоторой функции . Найдем ее по формуле (2.25).

Пусть и , тогда:

Ответ:  . 

Самостоятельная работа

1. Вычислить:

а)  ; б)  ;

в)  ; г)  ;

д)  ;

е)  ; ж)  .

2. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Найти эту функцию с помощью криволинейного интеграла II рода.

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ; д)  ;

е)  .