Тема 5. Многокритериальная оптимизация

Постановка и методы решения задач многокритериальной оптимизации. Примеры многокритериальных задач в экономике.

Тема 6. Математическая теория оптимального управления. Динамическое программирование.

Постановка задач оптимального управления. Принцип максимума для дискретных линейных задач оптимального управления. Методы нелинейного программирования в задачах оптимального управления.

Динамическое программирование. Математическая теория оптимального управления. Принцип оптимальности Р. Беллмана. Рекуррентные соотношения Беллмана. Численные методы расчета оптимальных программ. Схемы динамического программирования в задачах оптимального управления.

Тема 7. Марковские процессы; задачи систем массового

обслуживания

Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий. Уравнения Колмогорова. Процессы «рождения-гибели». Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания. Задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания. Модели систем массового обслуживания в коммерческой деятельности. СМО с отказами. СМО с ожиданием (очередью).

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

Тема 1. Линейное программирование

При решении задач из этой темы нужно использовать графический метод решения задач линейного программирования [1, гл. I, § 3, с. 27-37; 2, гл. 2, п. 2.2, с. 36-42].

Пример 1.1: Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

В отделе технического контроля (ОТК) некоторой фирмы работают контролеры первого и второго разрядов. Норма выработки ОТК за восьмичасовой рабочий день составляет не менее 1800 изделий. Контролер первого разряда (К1) проверяет 25 изделий в час, причем не ошибается в 98 % случаев. Контролер второго разряда (К2) проверяет 15 изделий в час, его точность – 95 %.

Зарплата К1 – 4 доллара в час, К2 – 3 доллара в час. При каждой ошибке контролера фирма несет убыток в размере двух долларов. Фирма может использовать 8 К1 и 10 К2. Фирма хочет определить оптимальный состав ОТК, при котором общие затраты на контроль будут минимальны.

Разработка модели.

Пусть и обозначают количество контролёров К1 и К2 соответственно.

Число контролеров каждого разряда ограничено, т. е. имеются следующие ограничения:

(разряд 1),

(разряд 2).

Ежедневно необходимо проверять не менее 1800 изделий. Поэтому должно выполняться неравенство:

, или .

При построении целевой функции следует иметь в виду, что расходы фирмы, связанные с контролем, включают две составляющие: зарплату контролеров и убытки, вызванные ошибками контролеров.

Расходы на одного контролера К1 составляют:

4$ + 2 · 25 · 0,02 = 5 $/час.

Расходы на одного контролера К2 равны:

3$ + 2 · 15 · 0,05 = 4,5 $/час.

Следовательно, целевая функция, выражающая ежедневные расходы на контроль, имеет вид:

.

Задача линейного программирования:

Решение.

а) Область допустимых решений (ОДР) построим следующим образом. Построим прямые с уравнениями (см. рис. 1.1)

б) Каждое неравенство (1)-(5) определяет полуплоскость, причем эта полуплоскость, содержит бесчисленное множество точек, координаты которых удовлетворяют соответствующему строгому неравенству.

Легко видеть, что координаты точки удовлетворяют неравенствам (1) и (2). Поэтому две полуплоскости содержат начало координат системы .

Все допустимые решения лежат в первом квадранте, так как .

В силу ограничения все допустимые решения располагаются по одну сторону от прямой и на самой прямой. Нужную полуплоскость можно найти, проверив, например, удовлетворяет ли начало координат неравенству ; если нет, то подставляем в неравенство координаты любой точки, расположенной по другую сторону от прямой . Нужная полуплоскость отмечается штриховкой.

Для изображения ОДР следует начертить графики всех ограничений.

Рис. 1.1

Множеством решений системы неравенств (1)-(5) является пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему. Штриховкой выделим ОДР – треугольник .

в) Строим нормальный вектор целевой функции . Подчеркнем, что его направление указывает на направление возрастания целевой функции .

Если зафиксировать значение целевой функции , то соответствующие точки будут лежать на некоторой прямой, перпендикулярной нормальному вектору . При изменении величины , прямая подвергается параллельному переносу. Рассмотрим прямые, соответствующие различным значениям , имеющие с ОДР хотя бы одну общую точку (на рис. 1.1 штриховые прямые).

Положим, . Прямая пересекает оси координат в точках и . При передвижении прямой в направлении вектора (на рис. 1.1 направление движения указано стрелками) значение уменьшается. Ясно, что для прямой, проходящей через угловую точку , дальнейшее движение невозможно. Следовательно, – оптимальное решение (план) и – минимальное значение целевой функции.

Таким образом, при оптимальном режиме работы ОТК необходимо использовать 8 контролеров первого разряда и контролеров второго разряда.

Дробное значение соответствует использованию одного из двух контролеров второго разряда в течение неполного рабочего дня. При недопустимости неполной нагрузки контролеров дробное значение обычно округляют, получая приблизительное оптимальное целочисленное решение: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

0 Решить графическим методом	1 Решить графическим методом
2 Решить графическим методом	3 Решить графическим методом

4 Решить графическим методом	5 Решить графическим методом
6 Решить графическим методом	7 Решить графическим методом
8 Решить графическим методом	9 Решить графическим методом:

Пример 1.2: Симплекс-метод: основная схема алгоритма. Экономическая интерпретация итоговой симплекс-таблицы.

При решении задач из этой темы нужно изучить симплексный метод решения задач линейного программирования [1, гл. I, § 4, с. 45-58; 2, гл. 3, п. 3.1-п. 3.2, с. 95-117].