59.Планирование и обработка результатов активного эксперимента. Центральные композиционные планы.

Как уже говорилось в практическом занятии №3 число уровней изменения каждой из независимых переменных должно быть на единицу больше порядка полинома. Поэтому при увеличении числа учитываемых факторов применение ПФЭ типа 3^k не рационально, так как это планирование характеризуется резким увеличением объема эксперимента.

Сократить число опытов можно, используя центральные композиционные планы (ЦКП), ядром которых являются линейные ортогональные планы. Преимущество этих планов – для получения модели более высокого порядка достаточно добавить несколько специально спланированных экспериментальных точек к уже существующим (в которых был проведен ДФЭ или ПФЭ).

Общее число опытов центрального композиционного плана при k факторах составит

N = N_ФЭ + N_α + N₀, (5.1)

где N_ФЭ = 2^k– число точек ПФЭ или ДФЭ;

N_α= 2k –число «звездных точек»;

N₀ – число опытов в центре плана.

Пример Построение ЦКП можно объяснить на примере с тремя независимыми переменными, соответствующими трем факторам X₁, X₂, X₃. Предположим, что для нахождения линейной модели применен ПФЭ 2³, экспериментальные точки которого находятся в вершинах куба (рисунок 5.1). В результате анализа экспериментальных данных установлено, что имитационная математическая модель в виде полинома 1-го порядка не адекватна исследуемому процессу.

X₂

(-1;1;-1) (1;1;-1)

α

(-1;1;1) (1;1;1)

(0;0;0) X₁

(-1;-1;-1) (1;-1;-1)

α

(-1;-1;1) (1;-1;1)

X₃ α

Рисунок 5.1 – Расположение экспериментальных точек в плане, соответствующем полиному 2-го порядка для трех независимых переменных

Тогда в центре плана проводится опыт, условия которого в матрице планирования эксперимента отображаются нулями для безразмерных величин всех факторов.

Для повышения достоверности полученного экспериментального значения функции отклика Y₀ в центре плана, опыты повторяют при неизменных нулевых значениях факторов. Подсчитанное среднее значение функции откликасравнивают с теоретическим значениемb₀. При подтверждении неадекватности линейной модели ставятся дополнительные опыты для значений факторов, превышающих их абсолютные значения по верхнему и нижнему уровням.

Таким образом, в ПФЭ 2³, к ранее проведенным восьми опытам добавляются еще семь опытов (включая опыт в центре плана), шесть из которых соответствуют «звездным точкам». «Звездные точки» (рисунок 5.1) представляют собой два уровня варьирования, каждым из трех факторов, значения которых лежат за пределами граней куба.

Как видно на рисунке 5.1, все «звездные точки» расположены на расстоянии большем, чем ±1 от центра плана и лежат на поверхности сферы диаметром 2α.

При построении планов используют различные критерии оптимальности планирования. Наиболее широкое применение получили следующие планы:

• ортогональные;

• рототабельные;

• D-оптимальные.