Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Л2_3_Предел функции.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
551.42 Кб
Скачать
  1. Бесконечно малые величины

Определение. Функция называется (х) называется бесконечно малой величиной в какой-то точке a, если она имеет нулевой предел в этой точке: .

Пример 1. α(x) = 4x – 20 – бесконечно малая величина в точке х = 5, так как при х5 будет .

Пример 2. β(x) = ln(3x – 8) – бесконечно малая величина в точке х = 3, так как при х3 будет .

Зная определение предела функции при ха и при х∞, дадим развернутое определение бесконечно малой величины с помощью кванторов:

при ха:

,

при х:

.

Существует связь бесконечно малой величины с функцией, имеющей конечный предел: функция f(x) в какой-то точке а имеет конечный предел b тогда и только тогда, если она вблизи этой точки а отличается от числа b на бесконечно малую функцию, т.е.

f(x) = b + α(x), где .

Пример 3. α(x)=4x–20 – бесконечно малая величина в точке х = 5, а функция f(x)=х2+3 в этой же точке х=5 имеет конечный предел: .

Тогда при х5 будет f(x)=b+α(x)  х2+3=28+4x–20=8+4x.

Свойства бесконечно малых величин

  1. Сумма бесконечно малых величин бесконечно мала: α(x) = α1(x) + α2(x).

Пример 3. α(x) = 4x – 20 и β(x) = ln(3x – 14) – бесконечно малые величины в точке х=5.

Тогда при х5 будет .

  1. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную или на другую бесконечно малую) бесконечно мало: , где . Здесь f(x) – ограниченная.

Функция f(x) называется ограниченной на заданном множестве значений ее аргумента X, если можно подобрать такую ограничивающую константу m>0, что при всех значениях хєX выполняется |f(x)|≤m.

Пример 4. α(x) = 4x – 20 – бесконечно малая величина в точке х=5, а f(x)=(3x – 14) ограничена в окрестности этой точки хє(4; 6) числом m=4 (так как 3·6-14=4). Тогда в точке х=5 произведение α(xf(x) – бесконечно малая величина, т.е. .

  1. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, имеющую ненулевой предел, - бесконечно мало: ,

т.е. , где .

  1. Бесконечно большие величины

Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой величиной в какой-то точке a прикосновения множества допустимых значений х, если для любого сколь угодно большого числа М>0 можно указать такую окрестность в точке a, в которой при всех допустимых x выполняется неравенство |f(x)|>M.

Иногда говорят, что бесконечно большой величиной называется переменная величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает. Однако неограниченная функция не обязательно бесконечно большая. Например, функция х sinх – неограниченная (ее значения могут быть как угодно большими), но не является бесконечно большой при х∞, так как с ростом х функция все время колеблется.

Предел бесконечно большой величины равен бесконечности: .

Зная определение предела функции при ха и при х∞, дадим развернутое определение бесконечно большой величины с помощью кванторов:

при ха:

,

при х:

.

Пример. Функция у = tg x есть бесконечно большая величина при : .

Свойства бесконечно больших величин

  1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, имеющую ненулевой предел, - бесконечно большая величина.

  2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции - бесконечно большая.

  3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую ненулевой предел, - бесконечно большая величина.