2. Предел функции в бесконечности

Определение такое же, как и в точке а, только значения x могут становиться сколь угодно большими, т.е. рассматривается предел функции в бесконечности (x →а=∞). Окрестностью точки ∞ здесь считаем множнство достаточно больших значений х.

Определение. Число b называется пределом функции у=f(x) при х, стремящемся к бесконечности (x→∞), если для любого сколь угодно малого числа ε>0 можно указать такое число S(ε)>0, что при всех допустимых значениях x таких, что |х|>S, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε. Этот предел обозначается .

Данное определение при x→∞ предполагает неограниченное возрастание х по абсолютной величине. Неравенству |х| > S равносильно х > S и х < -S.

Неравенство х > S определяет интервал (S; +∞), который называется окрестностью в точке а = +∞ при произвольном фиксированном S. Тогда можно сформулировать понятие предела при x →+∞.

Неравенство х < -S определяет интервал (-S; -∞), который называется окрестностью в точке а = -∞ при произвольном фиксированном -S. Тогда можно сформулировать понятие предела при x → -∞.

Рассмотрим геометрический смысл предела функции на +бесконечности х +∞ (рис.3).

Рис.3.

Зафиксируем на оси 0Y ε-окрестность и изобразим горизонтальную полосу, ограниченную прямыми у = b+ε, у = b-ε. Число b будет пределом функции f(x) при х  +∞, если при перемещении по оси ОХ аргумента х вправо с момента S (т.е. на интервале х є (S; +∞)) график функции f(x) попадает внутрь полосы, ограниченной ε-окрестностью числа b.

При уменьшении числа ε интервал (b-ε; b+ε) будет стягиваться к числу b, а рубеж S, соответствующий числу ε, будет находиться правее. Как бы ни было мало число ε > 0, всегда найдется такое число S, что при всех допустимых значениях x > S точка графика M(x, f(x)) отклоняется от горизонтальной линии у=b меньше, чем на величину ε, т.е. выполняется |f(x) – b| < ε. Это и доказывает, что .

Аналогично определяется предел при x → -∞.

Дадим в общих словах понятие предела функции у = f(х) в бесконечности.

Определение. Число b называется пределом функции у = f(x) при x → ∞, если значения функции сколь угодно близко приближаются к числу b, когда значения х становятся сколь угодно большими: .

Пример 1. Доказать, что .

Решение. Функция f(x)= определена всюду, кроме точки a = 0.

Согласно определению |f(x)-b|<ε, рассмотрим неравенство | - 4| < ε или | | = | | = | | < ε или |x| > . Таким образом, для любого ε > 0 можно взять такое число S= , что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х|> S = , будет справедливо неравенство |f(х) - 4| = | - 4| < ε. Это и означает, что .

Замечание 1. Понятие предела функции в точке a вводится только для предельных точек a области определения функции, ибо рассматривает значения х ≠ а в некоторой окрестности точки а. При этом функция может быть и не определена в точке а, т.е., вообще говоря, a не обязательно принадлежит D. При рассмотрении предполагают, что х стремится к а, но не достигает значения а. Поэтому наличие или отсутствие предела при x→а определяется поведением функции в окрестности точки а и не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке а.

Замечание 2. Переменная х может стремиться к числу a не только по произвольному закону, но и, например, только справа: ха+0, или только слева: ха-0. В этом случае говорят об односторонних пределах функции соответственно справа и слева .

Если односторонние пределы функции различны, т.е. , то предела функции при х  а не существует.

Пример 2. , . Здесь [х] – целая часть х. Односторонние пределы функции у=[х] не совпадают, значит, эта функция не имеет предела при х1.

Переменная х может стремиться к бесконечности как в сторону отрицательных, так и положительных значений: х∞; х-∞; х+∞.

Значения функции могут приближаться к числу b по произвольному закону (yb), сверху (yb+0), снизу (yb+0).

Функция может неограниченно возрастать (y+∞), убывать (y-∞), неограниченно возрастать по модулю (|y|+∞).

Всего может существовать 36 определений пределов функции:

Пример 3. Можно написать: или . Вторая запись оставляет открытым вопрос о знаке функции е^х. Но нельзя под знаком предела вместо х  +∞ написать х  ∞. Последняя запись включала бы и тот случай, когда х  -∞, что было бы неверно, так как .