§5 Теорема Кантора (принцип вложенных отрезков).

Определение 5 Система числовых отрезков , , называется системой вложенных отрезков, если:

,

т.е. если .

Теорема 3.(Кантора). Всякая система вложенных числовых отрезков имеет непустое пересечение.

Пусть задана система вложенных числовых отрезков. Обозначим через множество левых концов этих отрезков: а через множество правых концов этих отрезков: . Тогда из определения 5 для множеств и получаем:

.

Тогда в силу аксиомы V непрерывности множества действительных чисел, получаем, что найдется число , что . Неравенство выполнено для всех номеров , в частности для , . Это означает, что точка принадлежит всем отрезкам .

Определение 6 Длины отрезков , , называются стремящимися к нулю, если .

Теорема 4. Для всякой системы вложенных числовых отрезков , длины которых стремятся к нулю, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам , причем .

Предположим, что в условиях теоремы существуют два числа и , принадлежащие всем отрезкам . Но тогда для всякого , что возможно только при условии . Действительно, если , то достаточно взять и равенство приводит к противоречию: . Следовательно, существует единственное число , принадлежащее всем отрезкам , , причем: . Таким образом, число ограничивает множество сверху, а множество снизу. В силу теоремы 3 §1, множество обладает точной верхней, а множество точной нижней границами, причем в силу определений 4 и 5, имеет место неравенство:

. Таким образом, числа принадлежат всем отрезкам , а, следовательно, равны и имеет место .

Пользуясь принципом вложенных отрезков, докажем несчетность множества действительных чисел. Сначала потребуются вспомогательные леммы.

Лемма 1 Любое бесконечное подмножество счетного множества – счетно.

Пусть счетное множество и . Обозначим элемент , имеющий наименьший номер в , - элемент , имеющий наименьший номер в и т.д. Поскольку каждый элемент множества является некоторым элементом множества , то через шагов он будет занумерован и станет . Поскольку множество бесконечно, то этот процесс будет продолжаться неограниченно. Таким образом, все элементы множества будут занумерованы, что и означает его счетность.

Лемма 2 Любой отрезок множества действительных чисел не является счетным множеством.

Предположим противное: пусть некоторый отрезок является счетным множеством. Тогда его точки можно занумеровать натуральными числами: . Выберем какой-нибудь отрезок , так, чтобы . Далее выберем отрезок , так, чтобы и т.д. Таким образом, если выбран отрезок , то выбираем отрезок , так, чтобы . Продолжая этот процесс, получим систему вложенных отрезков , причем для любого натурального . Следовательно, пересечению всех отрезков не принадлежит ни одна точка . Но с другой стороны, согласно принципу вложенных отрезков, существует точка , , а значит и отрезку . Но все точки отрезка занумерованы, следовательно, найдется такой номер , что , но тогда для всех номеров , в частности и для номера . Но это противоречит выбору отрезка , ведь он выбирался так, чтобы . Полученное противоречие доказывает несчетность любого отрезка действительных чисел.

Теорема 5 (Кантор) Множество действительных чисел несчетно.

Если бы множество действительных чисел было бы счетным, то по Лемме 1 было бы счетным любое его бесконечное подмножество, в частности любой отрезок, что противоречит Лемме 2.