§3 Ограниченные и неограниченные множества и их свойства.
Определение 1 Множество называется ограниченным сверху, если:
.
Число
называется верхней границей множества
.
Очевидно, что всякое действительное
число, большее, чем
,
также будет верхней границей для
множества
.
Множество называется неограниченным сверху, если:
.
Определение 2 Множество называется ограниченным снизу, если:
.
Число
называется нижней границей множества
.
Очевидно, что всякое действительное
число, меньшее, чем
,
также будет нижней границей для множества
.
Множество называется неограниченным снизу, если:
.
Определение
3
Множество
называется ограниченным, если оно
ограничено снизу и сверху. Или:
.
Несложно
показать, что множество
ограничено, если
.
Множество неограниченно, если оно не ограничено снизу или сверху, т.е.:
.
Пример 1
Множество натуральных чисел ограничено снизу числом , но не ограничено сверху. Множество целых чисел не ограничено ни сверху, ни снизу.
Всякий конечный интервал или отрезок – ограниченные множества.
Определение
4
Пусть числовое множество
ограничено сверху. Наименьшая среди
всех верхних границ множества
называется его точной верхней границей
и обозначается
.
Другими словами
,
если:
1)
;
2)
.
Определение
5
Пусть числовое множество
ограничено снизу. Наибольшая среди всех
нижних границ множества
называется его точной нижней границей
и обозначается
.
Другими словами
,
если:
1)
;
2)
.
Пример 2
Если
,
то:
и
.
Теорема 1 Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю границу, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет точную нижнюю границу.
Пусть
числовое множество
ограничено сверху, а
множество всех чисел, ограничивающих
сверху множество
.
Тогда имеет место:
.
Но
в силу аксиомы непрерывности V,
найдется такое действительное число
,
что
.
Неравенство
означает, что
верхняя граница множества
,
а неравенство
означает,
что
наименьшая среди всех верхних границ
множества
.
Следовательно, по определению,
.
Аналогично доказывается и вторая часть
теоремы.
Если
числовое множество
неограниченно сверху, то у него не
существует точной верхней границы в
смысле определения 4. В этом случае
полагаем
.
Аналогично для множества
неограниченного снизу будем считать
.
Если числовое множество ограничено сверху некоторым числом , причем,
,
то
.
Аналогично, если
ограничено снизу некоторым числом
,
причем,
,
то
.
Таким образом, в неравенствах можно
переходить к точным границам.
Некоторые арифметические свойства точных границ. Доказать самостоятельно:
1.
Если
,
,
,
тогда
и
,
где
.
2.
Если
и
а)
и
,
б)
и
.
3.
Если
и
– ограниченные множества и
,
то
и
.
§4 Принцип Архимеда.
Теорема 2
.
Предположим
противное, т.е.
.
Это означает, что множество натуральных
чисел ограничено сверху. Тогда, по
теореме 1 §3, у него существует точная
верхняя граница
.
По определению точной верхней границы
1)
;
2)
.
Возьмем
,
тогда
или
.
Число
натуральное, тогда по пункту 1) имеем
.
Получаем противоречие, доказывающее
истинность утверждения
теоремы
2.
Следствие. Принцип Архимеда.
.
Действительно,
применим к числу
теорему
2. Получим, что
.
Но из неравенств
и
в силу аксиомы
следует
.
Пусть
.
Возьмем среди натуральных чисел
наименьшее (оно всегда существует),
тогда
. Если
,
то рассмотрим все натуральные числа,
такие, что
.
Среди них есть наибольшее, тогда
.
Таким
образом,
.
Число
называется целой частью действительного
числа и обозначается
.
Иначе говоря
это наибольшее целое число, не превосходящее
.
Разность
между числом
и его целой частью
называется дробной частью числа
и обозначается:
.
Очевидно, что
.