Раздел 3 Множество действительных чисел и его подмножества
§1 Операции и отношения на множестве действительных чисел.
I
Операция сложения.
Для
любых двух действительных чисел
и
определено единственное число, называемое
их суммой и обозначаемое
,
причем:
коммутативность
сложения;
ассоциативность
сложения;
существование
нуля (далее обозначаем
;
существование
противоположного числа (далее обозначаем
.
Число
называется разностью чисел
и
и обозначается
.
Свойства
называются аксиомами сложения. Из аксиом
сложения немедленно следует единственность
нуля и противоположного числа. (Доказать
самостоятельно!).
II
Операция умножения.
Для
любых двух действительных чисел
и
определено единственное число, называемое
их произведением и обозначаемое
,
причем:
коммутативность
умножения;
ассоциативность
умножения;
существование
единицы (далее обозначаем
;
существование
обратного числа (далее обозначаем
.
Число
(
называется
частным от деления чисел
и
и обозначается
.
Свойства
называются аксиомами умножения. Из
аксиом умножения немедленно следует
единственность единицы и обратного
числа. (Доказать самостоятельно!).
III Связь операций сложения и умножения.
аксиома
дистрибутивности.
IV
Отношение порядка.
Для любых двух различных действительных
чисел
и
имеет место одно из двух соотношений:
либо
,
или что то же самое
,
либо
,
или, что то же самое
.
Причем выполнены следующие условия:
аксиома
транзитивности;
;
.
Отношения
порядка называют сравнением действительных
чисел по величине или неравенствами.
Неравенство
равносильное записи
означает, что либо
,
либо
.
Из аксиом порядка следует свойство множества действительных чисел, называемое плотностью:
.
Действительно,
из аксиомы
следует, что
и
.
Тогда из аксиомы
следует, что
и
,
т.е. в качестве искомого
можно взять
.
V
Непрерывность.
Для
любых двух непустых множеств
и
,
таких, что:
,
найдется число
,
так, что
.
Свойства I-V полностью определяют множество действительных чисел, поэтому дадим аксиоматическое определение этого множества:
Определение Множество элементов, обладающее свойствами I-V и содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент – действительным числом.
Это определение однозначно задает множество действительных чисел с точностью до природы его элементов. Требование о том, чтобы в множестве было более одного элемента необходимо, т.к. множество, состоящее из одного нуля очевидно удовлетворяет свойствам I-V.
§2 Основные подмножества множества действительных чисел.
Числа
,
,
,
… и т.д. называются натуральными числами
и их множество обозначается
.
Таким образом, множество натуральных
чисел обладает свойством индуктивности,
которое заключается в следующем:
1)
;
2)
.
Причем
оно является наименьшим множеством,
обладающим таким свойством, т.е. если
и
обладает свойством индуктивности, то
.
На этом свойстве множества натуральных
чисел основан принцип доказательства
методом математической индукции.
Числа
называются целыми, их множество
обозначается
.
Множество целых чисел счетно, их можно
занумеровать. располагая в цепочку
следующим образом:
.
Числа
вида
,
где
,
а
,
причем
,
называются рациональными. Множество
всех рациональных чисел обозначают
.
Таким образом,
,
,
,
.
Множество рациональных чисел счетно
(доказать самостоятельно!). Действительные
числа, не являющиеся рациональными,
называются иррациональными и их множество
обозначается
’.
Геометрически
множество действительных чисел
изображается направленной прямой, а
отдельные числа – точками этой прямой.
Поэтому совокупность действительных
чисел еще называют числовой прямой или
числовой осью. Таким образом, неравенство
означает, что точка
лежит левее точки
на числовой оси. Дополним множество
действительных чисел элементами
(минус бесконечность) и
(плюс бесконечность), считая по определению,
что:
.
Множество
действительных чисел, дополненное
элементами
и
будем называть расширенным множеством
действительных чисел и обозначать
.
Определим некоторые важные типы
подмножеств
.
Пусть
:
1)
Отрезок:
;
2)
Интервал:
;
3)
Полуинтервал:
или
.