В различных практических задачах кроме декартовых координат используются и другие системы координат. Как пример расмотрим полярную систему координат.

Для начала напомним понятие радианной меры угла. В математическом анализе углы определяются с помощью тригонометрической окружности единичного радиуса.

Вершина угла лежит в центре окружности О, а стороны угла опираются на окружность. Одна сторона угла неподвижная (обычно её рисуют горизонтальной). Другая подвижная ( она формирует угол). Если подвижная сторона движется против часовой стрелки, то про такие углы говорят, что они положительно ориентированы. Если движение наоборот, то угол ориентирован отрицательно.

π/3

π/3

π/3

/ В математическом анализе угол измеряется в радианах (обычных числах).

Определение2.6. Радианная мера положительно ориентированного угла даётся формулой

рис.14

(2.20) Приведем формулы, связывающие радианную меру и градусную меру углов. Рассматриваем один и тот же угол. Пусть его радианная мера, а его градусная мера. Тогда имеют место формулы

(2.21)

и

(2.22)

С помощью (2.21.) переводят градусы в радианы. С помощью формулы (2.22.) наоборот.

Пример 2.6. Градусная мера угла равна 45 . Чему равна радианная мера этого угла?

Решение. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (2.21) .

Пример 2.7. Радианная мера угла равна . Чему равна градусная мера этого угла?

Решение. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (2.22) .

Полярная система координат.

Кроме декартовой системы координат для определения положения точек на плоскости часто используют полярную систему координат.

rrr

Определение 2.7. Полярные координаты точки это

упорядоченная пара чисел . это расстояние от

r

М

фиксированной точки ( называемой полюсом) до

∝

точки . угол(выраженный в радианах) между

О

между горизонтальной осью и отрезком рис.15.

рис.15

Если на плоскости введены одновременно две системы координат декартова система и полярная система, то между ними существует связь (рис.16).

Y

X

r

∝

В

А

Рис.16

Из (рис.16.) следуют формулы связи

, (2.23)

И наоборот

(2.24)

Пример 2.9. Изобразить точку на координатной плоскости.

Решение. Сначала нужно поинтересоваться, в каких координатах задана данная точка.

Если в декартовых координатах, то рисунок будет таким (рис.17), если в полярных, то таким (рис.18)

115°

r=3

М

М

Рис.17 рис.18

Действительно . Следовательно (см. формулу 2.21).

Упражнение. Изобразить точки заданные в полярной системе координат

и найти прямоугольные координаты этих точек.

Упражнение. Изобразить точки заданные в декартовой системе координат:

и найти полярные координаты этих точек.

Если полярный радиус и полярный угол связаны друг с другом формулой ,

то при изменении угла будет изменяться и полярный радиус. Точки при непрерывном изменении угла опишут некоторую кривую.

Пример 2.10. Построим кривые: 1) в декартовой системе координат;

2) в полярной системе координат.

Соответствующие эскизы этих кривых приведены ниже

Пример 2.11. Построить по точкам кривые: 1) в декартовой системе координат;

2) в полярной системе координат.

Соответствующие эскизы этих кривых приведены ниже

Контрольные вопросы.

1. Дайте определения кривых второго порядка:

1. параболы, 2) эллипса, 3)гиперболы

2. На какой оси координат лежат фокусы (с) данных кривых

3. Напишите формулы перехода от декартовой системы координат к полярной

системе и наоборот.

4. Пусть произвольная точка в декартовой системе координат, а

произвольная точка в полярной системе координат. Дайте рисунки линий

.

Далее предлагаются упражнения по данной теме для самостоятельной работы . В разделе ответы и решения приведены краткие решения упражнений.

Упражнения.

Парабола.

Упражнение 2.1. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси ОХ и её параметр равен 3.

Упражнение 2.2. Определить величину параметра и дать эскизы парабол

Упражнение 2.3. Написать уравнение параболы, которая имеет фокус и вершину в начале координат.

Упражнение 2.4. Найти фокус и директрису параболы .

Упражнение 2.5. Написать уравнение параболы, у которой фокус и уравнение директрисы .

Окружность

Упражнение 2.6. Написать уравнение окружности, зная

1. её центр О и радиус ; 2) её центр О и радиус ;

Упражнение 2.7. Написать канонические уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси

абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что

1. его полуоси равны ;

2. его большая полуось равна 5, а расстояние между фокусами ;

3. расстояние между его фокусами , а эксцентриситет ;

4. расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между

фокусами .

Упражнение 2.8. Написать канонические уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси

ординат симметрично относительно начала координат, зная, что

1. его полуоси равны ;

2. его большая полуось равна 10, а расстояние между фокусами ;

3. расстояние между его фокусами , а эксцентриситет ;

4. расстояние между его директрисами равно и расстояние между

фокусами ;

Упражнение 2.9. Дан эллипс . Найти его

1. полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

Упражнение 2.10. Определить тип кривой и дать эскиз её графика

1) ; 2)