Глава II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Тема 2. Кривые второго порядка. Полярная система координат.

ПАРАБОЛЫ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1 ПАРАБОЛА-ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК РАВНОУДАЛЁННЫХ ОТ ЗАДАННОЙ ПРЯМОЙ И ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ (ТОЧКА НЕ ЛЕЖИТ НА ЗАДАННОЙ ПРЯМОЙ).ПРЯМАЯ НАЗЫВАЕТСЯ ДИРЕКТРИСОЙ, А ТОЧКА ФОКУСОМ ПАРАБОЛЫ (РИС.1). ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ ФОКУС И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ДИРЕКТРИСЕ НАЗЫВАЕТСЯ ОСЬЮ СИММЕТРИИ ПАРАБОЛЫ. ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПАРАБОЛЫ С ОСЬЮ СИММЕТРИИ НАЗЫВАЕТСЯ ВЕРШИНОЙ ПАРАБОЛЫ.

П

М

РИМЕР 2.1 НАПИСАТЬ УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ, КОТОРАЯ ИМЕЕТ ФОКУС (-1,0) И УРАВНЕНИЕ ДИРЕКТРИСЫ Х=1 .РЕШЕНИЕ. ПУСТЬ ТОЧКА С КООРДИНАТАМИ М (х,у) ЛЕЖИТ НА ПАРАБОЛЕ . ТОГДА ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ 2.1 РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ М ДО ФОКУСА РАВНО РАССТОЯНИЮ ОТ ТОЧКИ М ДО ДИРЕКТРИСЫ:

ВОЗВОДЯ ОБЕ ЧАСТИ В КВАДРАТ, ПОЛУЧАЕМ (рис.1)

.

рис.1 ИЛИ

ПОЛУЧЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ ПАРАБОЛЫ.

ТЕОРЕМА 2.1 ПАРАБОЛА НА ХУ ПЛОСКОСТИ ИМЕЮЩАЯ:

1)ВЕРШИНУ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ; 2)ФОКУС НА ОСИ ОУ; 3) ДИРЕКТРИСУ

ИМЕЕТ УРАВНЕНИЕ (2.1)

У ПАРАБОЛЫ, ПРЕДСТАВЛЕННЙ НА РИС.2а , ПАРАМЕТР .

У ПАРАБОЛЫ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА РИС.2 ,ПАРАМЕТР ..

РИС. 2а

ТЕОРЕМА 2.2 ПАРАБОЛА НА ОХУ ПЛОСКОСТИ ИМЕЮЩАЯ:

1)ВЕРШИНУ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ; 2)ФОКУС НА ОСИ ОХ; 3) ДИРЕКТРИСУ ИМЕЕТ УРАВНЕНИЕ

(2.2)

У ПАРАБОЛЫ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА РИС.3а , ПАРАМЕТР .

У ПАРАБОЛЫ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА РИС.3 , ПАРАМЕТР .

РИС.3а

Параллельный сдвиг координатных осей

ДОПУСТИМ, ЧТО ПАРАБОЛА ИМЕЕТ ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ ЛИБО ВЕРТИКАЛЬНУЮ ОСЬ СИММЕТРИИ, НО ЕЁ ВЕРШИНА НЕ ЛЕЖИТ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ. МЫ ОПРЕДЕЛИМ ФОКУС И ДИРЕКТРИСУ ПАРАБОЛЫ ИЗ ЕЁ УРАВНЕНИЯ ВВОДЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОСИ КООРДИНАТ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНЫМ ОСЯМ И ВЫБИРАЯ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫ В ТОЧКЕ .

ЕСЛИ НАЧАЛО КООРДИНАТ НОВОЙ СИСТЕМЫ ИМЕЕТ КООРДИНАТЫ В ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ , ТОГДА НОВЫЕ И СТАРЫЕ КООРДИНАТЫ СВЯЗАНЫ МЕЖДУ СОБОЙ УРАВНЕНИЯМИ

(2.3)

ПРИМЕР 2.2 НАЙТИ ФОКУС, ВЕРШИНУ И ДИРЕКТРИСУ ПАРАБОЛЫ

Р

ЕШЕНИЕ. ВЫДЕЛЯЕМ ПОЛНЫЙ КВАДРАТ ПО ПЕРЕМЕННОЙ : ОТСЮДА . В ПОЛУЧЕННОМ УРАВНЕНИИ ПОЛОЖИМ

ТОГДА В НОВЫХ КООРДИНАТАХ УРАВНЕНИЕ ПРИНИМАЕТ ВИД

(2.4)

Рис.4

ОКРУЖНОСТЬ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. ОКРУЖНОСТЬ ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК РАВНОУДАЛЁННЫХ ОТ ФИКСИРОВАНОЙ

ТОЧКИ НАЗЫВАЕМОЙ ЦЕНТРОМ.

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ И РАДИУСА ХОРОШО ИЗВЕСТНО

(2.5)

УПРАЖНЕНИЕ. ИСПОЛЬЗУЯ ГРАФИК, НАЙТИ КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ОКРУЖНОСТИ И ЕЁ РАДИУС (рис.5)

Рис.5

ЭЛЛИПС

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. ЭЛЛИПС-ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ ТАКИХ, ЧТО

СУММА РАССТОЯНИЙ ИХ ДО ДВУХ ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧЕК ЕСТЬ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ.

ТОЧКИ НАЗЫВАЮТСЯ ФОКУСАМИ ЭЛЛИПСА.

МЫ БУДЕМ РАССМАТРИВАТЬ «КАНОНИЧЕСКУЮ» СИСТЕМУ КООРДИНАТ, В КОТОРОЙ НАЧАЛО КООРДИНАТ ЯВЛЯЕТСЯ ЦЕНТРОМ СИММЕТРИИ ЭЛЛИПСА. КРОМЕ ТОГО ЭЛЛИПС СИММЕТРИЧЕН ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ ТАКИХ КООРДИНАТ.

ПРИМЕР 2.3. НАЙТИ УРАВНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ С КООРДИНАТАМИ , ДЛЯ КОТОРЫХ СУММА РАССТОЯНИЙ ДО ДВУХ ТОЧЕК РАВНА 4.

РЕШЕНИЕ. СОГЛАСНО ОПРЕДЕЛЕНИЮ 2.3. ИМЕЕМ:

УРАВНЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ ЭЛЛИПСА .

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СФОРМУЛИРОВАН В СЛЕДУЮЩЕЙ ТЕОРЕМЕ 2.3.

Т p еорема 2.3

П

F1

F2

УСТЬ НА ОСИ ПЛОСКОСТИ ЗАДАНЫ ФОКУСЫ ЭЛЛИПСА И . СУММА РАССТОЯНИЙ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ ЭЛЛИПСА ДО ФОКУСОВ РАВНА 2а. (а ). ТОГДА «КАНОНИЧЕСКОЕ» УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА ИМЕЕТ ВИД

, (2.6)

РИС.6 ГДЕ (2.7)

ЗАМЕЧАНИЕ. ФОКУСЫ ЭЛЛИПСА ЛЕЖАТ НА ОСИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА В УРАВНЕНИИ (2.6) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4 ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОМ ЭЛЛИПСА НАЗЫВАЕТСЯ ВЕЛИЧИНА , КОТОРАЯ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ

(2.8)

ТАК КАК У ЭЛЛИПСА , ТО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ЭЛЛИПСА ВСЕГДА МЕНЬШЕ ЕДИНИЦЫ. ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ЭЛЛИПСА ПОКАЗЫВАЕТ, НАСКОЛЬКО СИЛЬНО СПЛЮЩЕН ЭЛЛИПС К ПРЯМОЙ НА КОТОРОЙ ЛЕЖАТ ФОКУСЫ.

УПРАЖНЕНИЕ. ВЫБЕРИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ. ЧЕМ МЕНЬШЕ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ЭЛЛИПСА, ТЕМ ЭЛЛИПС