
- •1. Загальні поняття про числову послідовність, функцію та їх границі
- •Поняття числової послідовності. Поняття границі числової послідовності
- •Деякі способи задання послідовності
- •Монотонні послідовності
- •Нижня та верхня межа
- •Границя послідовності
- •Геометричний зміст границі послідовності
- •Основні властивості границь послідовності :
- •Поняття функції. Поняття границі функції
- •Способи задання функції:
- •Поняття границі функції
- •Узагальнення на випадок нескінченості
- •Односторонні границі. Ліва та права границя функції
- •Теореми про границі функцій. Властивості границь
- •Деякі важливі границі
- •Границі числової послідовності і функції
- •Список використаної літератури
Границі числової послідовності і функції
Для математичного аналізу поняття границі має першорядне значення. Саме введення поняття границі дало можливість розглядати не лише стани, а й процеси.
Означення. “Число а називається границею послідовності (уn), якщо для будь-якого додатнього числа e знайдеться таке натуральне число N, що при всіх n > N виконується нерівність | ym - a | < ".
Крім границі послідовності, в математичному аналізі відіграє важливу роль і поняття границі функції. Як і границю послідовності, поняття границі функції треба вводити конкретно – індуктивним методом, тобто спочатку пояснити його на кількох конкретних прикладах, краще з використанням графіків функцій, а вже потім робити узагальнення.
В математичній літературі поширені два означення границі функції – “за Коші” і “за Гейне”.
У першому використовуються символи і , а в другому – границю послідовності. Більшість авторів перевагу віддають першому означенню: “Число С називається границею функції f(x) при х, що прямує до а, якщо для будь-якого як завгодно малого наперед заданого додатнього числа можна вказати додатне число , що для всіх ха, які задовольняють нерівність | х - а | < , виконується нерівність | f(x) - c | < .
Означення границі функції за Гейне можна сформулювати так. Нехай f(x) – числова функція, задана на множині М. Якщо для будь-якої збіжної до а послідовності Х1, Х2, Х3, ..., Хn, ... - відмінних від а чисел за М послідовність f(x), f(x2), f(x2), ..., f(xn), ... - збігається до С, то С називають границею даної функції при х а.
Питання про неперервність функції розглядають після введення поняття границі функції в точці.
Означення. Функція у = f(х) називається неперервною в точці х0 (а, в), якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в цій точці.
Відповідно даному означенню неперервність функції f(х) в граничній точці х0 множини Е (область визначення цієї функції) означає, що виконуються наступні умови:
функція у = f(х) повинна бути визначена в т. х0 (х0 Е), тобто існує число f(х0);
границя функції у = f(х) повинна існувати в т. х0;
границя функції у = f(х) при х а співпадає із значенням функції в цій точці, тобто
.
Функція, яка неперервна в кожній точці даного проміжку, називається неперервною на даному проміжку.
Функція f для якої наближена рівність f(х) f(х0) виконується з будь-якою наперед заданою точністю для всіх х, досить близьких до х0 називається неперервною в точці х0.
Рівність справедлива завжди.
Функція f прямує до числа а коли х прямує до х0, якщо різниця f(x) - a як завгодно мала, тобто |f(x) - a| стає менше від будь-якого фіксованого h > 0 при зменшенні |х|, де х = х – х0.
Знаходження а за функцією f називають граничним переходом.
Приклад: Знаходження похідної – граничний перехід.
Інакше: Число в називається границею функції f(x) при х > а, якщо для любого > 0 знайдеться таке , що для всіх х a, для яких | x - a | < , вірна нерівність | f(x) - в | < .
Функцію f(x) називається неперервною в точці х0, якщо вона визначена в деякому околу точки і якщо границя функції при х х0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
Наглядне поняття про неперервність функції (малюнок, виконаний без відриву олівця від паперу).
Функції неперервні в у всіх точках своєї області визначення: дробно-раціональні, тригонометричні.
Властивість неперервних функцій: Якщо на інтервалі (а; в) функція неперервна і не перетворюється в нуль, то вона на цьому інтервалі зберігає постійний знак.
На цій властивості оснований метод інтервалів – метод розв’язування нерівностей з однією змінною.
Функція, яка не є неперервною: f(x) = {х}, де {х} – дробова частина числа х.
Ознака максимуму (мінімуму) функції:
Якщо функція f неперервна в точці х0, а f'(x) > 0 (f'(x) < 0) на інтервалі (а; х0 ) і f'(x) < 0 (f'(x) > 0) на інтервалі (х0; в), то х0 являється точкою максимуму (мінімуму) функції.