Поняття границі функції

Нехай функція визначена у всіх точках проміжку , за винятком, можливо, деякої точки . Побудуємо послідовність значень аргументу функції :

,   (1)

таку, щоб всі члени послідовності належали проміжку і послідовність збігалась до точки :

.

Тоді значення функції

. (2)

також утворять деяку числову послідовність.

Говорять, що число є границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якої послідовності значень аргументу (1), яка збігається до числа , послідовність значень функції (2) збігається до числа , і пишуть

.

Примітка. Це визначення границі функції називається визначенням границі по Гейне.

Існує й інше, еквівалентне тому, що вище, визначення границі функції.

Говорять, що число є границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якого додатнього числа знайдеться таке додатне число , яке залежить від , що при всіх , які задовільняють нерівність

,

виконується нерівність

.

Примітка. Це визначення границі функції називається визначенням границі по Коші.

Узагальнення на випадок нескінченості

Сформовані вище означення границі функції по Гейне і по Коші можуть бути узагальнені і на випадок, коли замість числа береться (або ).

Говорять, що число є границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якого додатнього числа знайдеться таке додатне число , що для всіх , які задовільняють нерівність , виконується нерівність

;

в цьому випадку пишуть

.

Говорять, що функція прямує до при прямуванні до , якщо для будь-якого скільки завгодно великого додатнього числа знайдеться таке додатне число , що для всіх , які задовільняють нерівність

,

і таких, що належать області визначення функції, виконується нерівність

;

в цьому випадку пишуть

при , або

.

Односторонні границі. Ліва та права границя функції

Нехай функція визначена на проміжку . Число називають лівою границею функції в точці і пишуть

,

якщо для будь-якого числа знайдеться додатнє число , яке залежить від , таке, що для всіх , які задовільняють нерівність , виконується нерівність

.

Аналогічно визначається права границя функції . Для позначення правої границі функції в точці використовується позначення

Ліва і права границі функції називаються односторонніми границями.

Якщо функція визначена на проміжку , за винятком, можливо, точки , то для існування границі

необхідно і достатньо, щоб права і ліва границі функції в точці існували і були рівні:

.

Теореми про границі функцій. Властивості границь

1) Якщо функції і мають границі при , який прямує до , то функції , , також мають границі при , який прямує до і

В останньому випадку припускається, що функція не перетворюється в нуль в досить малому околі точки і .

2) Якщо при , що прямує до , функція має границю, рівну , і ця границя більше числа , то для достятньо близьких до значень функція задовільняє нерівність .

Деякі важливі границі

В теорії границь важливе місце займають перераховані нижче границі 1)-4) за допомогою яких обчислюється багато границь від елементарних функцій: