ЧИСЛОВА ПОСЛІДОВНІСТЬ, ФУНКЦІЯ ТА ЇХ ГРАНИЦІ. ТЕОРЕМИ ПРО ГРАНИЦЮ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА ГРАНИЦЮ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ДОВЕДЕННЯ

ЗМІСТ

Вступ………………………………………………………………………………..….3

1. Загальні поняття про числову послідовність, функцію та їх границі………………………………………………………………………......……...3

1.1. Поняття числової послідовності. Поняття границі числової послідовності…........................3

1.2. Поняття функції. Поняття границі функції……………………………………..........................6

1.3. Границі числової послідовності і функції……………………………………...........................12

2. Теореми про границю послідовності та границю функції та їх доведення…….15

2.1. Означення границі послідовності. Теорема про обмеженість збіжної послідовності……………………………………………………………………………….………....15

2.2. Теорема Веєрштраса про існування границі монотонної послідовності……………….…….17

2.3. Теорема про три послідовності (про "затиснуту" послідовність)…………………………….18

2.4. Збіжність послідовності . Число e………………..………………...18

2.5. Границя функції в точці. Означення за Коші і за Гейне, їх еквівалентність............................19

2.6. Поняття неперервності функції, неперервність функції в точці, точки

розриву...................................................................................................................................................20

2.7. Теореми про властивості неперервних на відрізку функцій (теорема Коші про проміжні значення, теореми Веєрштраса)...........................................................................................................21

3. Границя числової послідовності..............................................................................23

3.1. Послідовнісь та її границя. Єдиність границі. Обмеженість збіжної послідовності.........................................................................................................................................23

1. Основні теореми про границі...................................................................................................28

3. Нескінченно малі числові послідовності................................................................................29

4. Нескінченно великі числові послідовності.............................................................................30

3. Границя функції........................................................................................................31

4.1. Порівняння функцій. Обчислення границь. Деякі чудові границі............................................32

4.2. Еквівалентні функції......................................................................................................................44

4.3. Метод виділення головної частини функції і його застосування до обчислення границь...................................................................................................................................................47

4.4. Границя функції неперервного аргументу...................................................................................50

Висновок.........................................................................................................................52

Список використаної літератури..................................................................................53

ВСТУП

1. Загальні поняття про числову послідовність, функцію та їх границі

1. Поняття числової послідовності. Поняття границі числової послідовності

Нехай кожному натуральному числу відповідає по деякому правилу число . Кажуть, що задана числова послідовність

Числа  називаються членами послідовності;   – -й або загальний член послідовності. Саму послідовність позначають так: .

Таким чином, числовою послідовністю  (або, коротше, послідовністю) називається функція, задана на множині натуральних чисел.

Наприклад, якщо відомо, що

при будь-якому , то

і т.д.

Деякі способи задання послідовності

1) Аналітичний спосіб задання послідовності. Задати послідовність аналітично – це означає вказати формулу, яка дозволяє по номеру члена послідовності однозначно визначити цей член. Формула, яка дозволяє обчислити будь-який член послідовності по його номері, називається формулою загального члена числової послідовності. Наприклад, формула загального члена

задає наступну числову послідовність

2) Інколи послідовність задається рекурентною формулою, яка дозволяє знаходити члени послідовності по відомим попереднім членам. Наприклад, розглянемо послідовність , перший член якої рівний 1, другий 2, а кожний член, починаючи з третього, рівний сумі двох попередніх членів:

. Тоді

 і т.д. Значить, послідовність  задана. 3) Послідовність може бути також задана описом способу отримання її членів. Так, наприклад, говорять, що послідовність

Утворена із приблизних значень числа  з недостачею з точністю до 

і т.д. В подібних випадках, як правило, не можна вказати ні формули загального члена послідовності, ні рекурентного способу обчислення її членів.

Монотонні послідовності

Послідовність  називається зростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, більший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального  виконується нерівність

.

Послідовність  називається спадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, менший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального  виконується нерівність

.

Послідовність  називається неспадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, не менший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального  виконується нерівність

.

Послідовність  називається незростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, не більший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального  виконується нерівність

.

Зростаючі, спадні, неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними послідовностями.

Зростаючі та спадаючі послідовності називають строго монотонними.

Нижня та верхня межа

Послідовність  називається обмеженою знизу, якщо існує таке число , що для кожного члена послідовності справджується нерівність . Число  називається нижньою межею послідовності . Послідовність  називається обмеженою зверху, якщо існує таке число , що для кожного члена послідовності справджується нерівність . Число  називається верхньою межею послідовності .

Границя послідовності

Число  називається границею послідовності  і записують

якщо для будь-якого додатного числа  знайдеться номер  члена послідовності, починаючи з якого буде виконуватися нерівність

      (1)

Примітка. lim – це скорочення латинського слова «limes», яке означає «границя».

Числову послідовність називають збіжною, якщо вона має границю. Послідовність, яка не має границі, називають розбіжною.

Нерівність (1) також може бути записана у вигляді:

.

Інтервал  називають околом точки .