Розв’язування нелінійних рівнянь засобами Mathcad Рівняння з однією змінною

Для простих рівнянь вигляду f(x)=0 розв’язок в Mathcad знаходиться за допомогою функції root.

root( f(х1, x2 .), х1, а, b ) Повертає значення х1, що належить відрізку [а, b], при якому вираз або функція f(х) перетворюється в 0. Аргументи цієї функції мають бути скалярами. Функція повертає скаляр.

Аргументи:

f(х1, x2 .) - функція, визначена де-небудь в робочому документі.

х1 - ім'я змінної, яка використовується у виразі. Змінній перед використанням функції root необхідно привласнити числове значення. Mathcad використовує його як початкове наближення при пошуку кореня.

а, b – необов'язкові, якщо використовуються, то мають бути дійсними числами, причому а < b.

Якщо після багатьох ітерацій Mathcad не знаходить відповідного наближення, то з'явиться повідомлення (відсутня збіжність) може бути викликана наступними причинами:

• Рівняння не має коренів.

• Корінь рівняння розташований далеко від початкового наближення.

• Вираз має локальні max і min між початковим наближенням і коренем.

• Вираз має розриви між початковими наближеннями і коренем.

• Вираз має комплексний корінь, але початкове наближення було дійним.

Знаходження коренів полінома

Для знаходження коренів виразу, що має вигляд v_nxⁿ + ... + v₂x² + v₁x + v₀

P olyroots(v) Повертає корені полінома степеня n. Аргументи: v – вектор, що містить коефіцієнти полінома.

Розв’язування систем рівнянь

Для розв’язування системи рівнянь необхідно виконати наступне:

• Задати початкове наближення для всіх невідомих, що входять в систему. Mathcad розв’язує систему ітераційними методами.

• Вказати Given. Воно вказує Mathcad, що далі слідує система рівнянь.

• Ввести рівняння і нерівності у будь-якому порядку. Використовуйте [Ctrl]= для друку символу =. Між лівими і правими частинами нерівностей може стояти будь-який з символів <, >, ≤ і 

• Введіть будь-який вираз, який включає функцію Find, наприклад: а:= Find(х,у).

Find(z1, z2 . . .) Повертає точний розв’язок системи рівнянь. Число аргументів має дорівнювати числу невідомих.

Given, рівняння і нерівності, які слідують за ним, і вираз, що містить функцію Find, – блок розв’язку рівнянь.

Наступні вирази недопустимі усередині блоку розв’язку:

• Обмеження із знаком ≠.

• Дискретний аргумент або вирази, що містять дискретний аргумент в будь-якій формі.

• Нерівності вигляду а < b < с.

Повідомлення про помилку «Розв’язок не знайдено» при розв’язуванні рівнянь з'являється, коли:

• Поставлене завдання може не мати розв’язок.

• Для рівняння, яке не має дійсних коренів, за початкове наближення взято дійсне число і навпаки.

• В процесі пошуку розв’язку послідовність наближень попала в точку локального мінімуму нев'язки. Для пошуку шуканого розв’язку потрібно задати різні початкові наближення.

• Поставлене завдання не може бути розв’язане із заданою точністю. Спробуйте збільшити значення TOL.

Розв’язання нелінійних рівнянь за допомогою функцій root, polyroot

а) - знайшли корінь рівняння x-cos(x)=0 на інтервалі x від -10 до 10

б ) - знайшли корінь рівняння G(x)=0 (корінь знайдений з похибкою близько 10^-5) Точність знайдених рішень визначається змінною TOL, яку при необхідності можна перевизначити.

в) Знайшли вектор кореня полінома 3 степеня. Вектор v розмірністю 4 містить коефіцієнти при 0-му, 1-му, 2-му і 3-му степенях полінома. З першим із знайденого кореня виконана перевірка. Похибка складає близько 10^-9

Наближені розв’язки

Функція Minner використовує той же алгоритм , що і Find (). Якщо в результаті пошуку не може бути отримане подальше уточнення поточного наближення до розв’язку, Minner повертає це наближення. Функція Find в цьому випадку повертає повідомлення про помилку. Правила використання функції Minner такі ж, як і функції Find.

Minerr(z1, z2 . . .) повертає наближений розв’язок системи рівнянь. Число аргументів має дорівнювати числу невідомих.

Якщо Minner використовується в блоці розв’язок рівнянь, необхідно завжди включати додаткову перевірку достовірності результатів.

а) Розв’яжемо систему 2 нелінійних рівнянь

Пошук рішення починаєьбся з початкової точки (1,1). Задання якої-небудь початкової точки необхідне.

б) Розв’яжемо нелінійне рівняння, що не має рішення, – буде знайдена мінімальна нев’язкість рівняння, тобто, значення x, при якому ліва і права частини рівняння найбільш близькі.

Системна змінна ERR показує нев'язність рівняння