Лекции / Основы начертательной геометрии

92

Если некоторая точка А совершает сложное движение: равномерно перемещается по некоторой прямой, а прямая в свою очередь равномерно вращается вокруг параллельной ей оси, то точка А при этом опишет кривую, называемую цилиндрической винтовой линией.

Перемещение точки вдоль прямой за один полный оборот последней вокруг оси вращения называют шагом винтовой линии.

На рисунке 98 показано построение проекций винтовой линии, ось i которой перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. В этом случае горизонтальная проекция линии (вид сверху) будет окружностью.

Для построения вида спереди (фронтальной проекции) проделаем следующее: рассмотрим двенадцать положений точки за один полный оборот. Для этого разделим на двенадцать равных частей окружность и шаг винтовой ли-

нии. Тогда в пересечении соответствующих вертикальных линий связи и горизонтальных прямых получим фронтальные проекции точек винтовой линии. Соединив точки плавной кривой, получим фронтальную проекцию винтовой линии, являющуюся синусоидой (это следует из способа ее построения).

Показанная на рисунке 98 винтовая линия называется правой, так как точка перемещается вправо (по часовой стрелке) при своем движении по поверхности кругового цилиндра. В противном случае винтовая линия является левой.

Если развернуть поверхность цилиндра вместе с винтовой линией, то ее точки лягут на одну прямую (это следует из самого способа построения). Угол α называют углом наклона винтовой линии.

93

5.2. ОБРАЗОВАНИЕ, ЗАДАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

5.2.1. Образование поверхностей

Вначертательной геометрии (да и не только в ней) основным способом образования поверхностей является кинематический способ.

Вэтом случае поверхность рассматривается как совокуп-

ность последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по какому либо закону.

Сама линия при движении может оставаться неизменной или непрерывно меняться.

Вобщем случае поверхность может быть образована направляющей т, перемещающейся по некоторым неподвижным образующим t (рисунок 99). Видно, что можно поменять местами образующие и направляющие, при этом получится одна и та же поверхность.

Каждая поверхность может быть образована разными способами. Так, например, поверхность прямого кругового цилиндра (рисунок 100) может быть образована так. Во-первых, вращением прямолинейной образующей t вокруг параллельной ей оси i. Во-вторых, движением образующей окружности m, центр которой перемещается по оси цилиндра i, а плоскость окружности остается перпендикулярной этой оси. В-третьих, вращением около оси i образующей произвольной формы k, нанесенной на поверхность цилиндра.

Из всех возможных способов образования поверхности следует выбирать такие, которые являются наиболее простыми и удобными для изображения.

94

5.2.2. Задание поверхности на комплексном чертеже

Для задания поверхности на комплексном чертеже необходимо иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволяют построить каждую ее точку. Совокупность таких элементов поверхности называют определителем поверхности. Часто поверхность задают проекциями ее направляющих и указывают способ построения ее образующих.

Очерком поверхности называют проекцию ее контурной линии. Иными словами очерк поверхности это граница, кото-

рая отделяет проекцию поверхности от остальной части плоскости проекций.

5.2.3. Классификация поверхностей

Для удобства изучения поверхности можно условно разделить на ряд классов.

Поверхности вращения – образуются вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси.

Линейчатые поверхности – образуются движением прямой линии (в частности винтовые поверхности, образуемые движением прямой линии по винтовым направляющим).

Поверхности второго порядка (они пересекаются с плоско-

стью по кривой второго порядка, а максимальное число точек пересечения такой поверхности с прямой равно двум).

Циклические поверхности – образуются движением окружно-

сти.

Топографические поверхности – поверхности сложной фор-

мы, задаются на чертеже семейством линий (обычно линий уровня). Нужно отметить, что классификация эта условная и некоторые поверхности могут быть отнесены не к одному, а сразу к нескольким

классам.

95

5.3. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Поверхностью вращения называют поверхность, описываемую какой либо линией (образующей, в частности прямой) при ее вращении вокруг неподвижной оси.

Образующая линия может быть как плоской, так и пространственной кривой. Поверхность вращения определяется заданием своей образующей т и оси вращения i (рисунок 102).

Каждая точка М образующей т при вращении описывает окружность с центром О на оси i. Эти окружности называют паралле-

лями.

Наибольшая и наименьшая параллели называются соответст-

венно экватором и горлом.

так, чтобы ось вращения была перпендикулярна какой либо плоскости проекций (в нашем примере горизонтальной плоскости Г). В этом случае все параллели h проецируются на эту плоскость проекций без искажения, а экватор определяет горизонтальный очерк поверхности.

Меридиан f, расположенный во фронтальной плоскости, проецируется без искажения на фронтальную плоскость проекций Ф. Этот меридиан называется главным меридианом. Он определяет фронтальный очерк поверхности. Построение любой точки этой поверхности удобно производить при помощи параллели h, проведенной на поверхности на уровне нужной точки.

96

5.3.1. Поверхности, образуемые вращением прямой линии

При вращении прямой линии могут быть образованы ниже перечисленные поверхности.

Цилиндр вращения образуется вращением прямой t вокруг параллельной ей оси i (рисунок 103).

Конус вращения образуется вращением прямой t вокруг пересекающейся с ней оси i (рисунок 104).

Однополостный гиперболоид вращения образуется враще-

нием прямой t вокруг скрещивающейся с ней оси i (рисунок 105). В этом случае все точки прямой опишут окружности различных радиусов, причем общий перпендикуляр ОА прямых t и i будет наименьшим из всех радиусов, поэтому точка А опишет окружность, являющуюся горлом гиперболоида.

Для построения главного меридиана гиперболоида нужно повернуть вокруг оси i ряд точек прямой t до совмещения их с фронтальной плоскостью,

проходящей через ось i. При этом получим гиперболу, являющуюся фронтальным очерком однополостного гиперболоида.

Поскольку все три поверхности образованы движением прямой линии, их можно отнести и к классу линейчатых поверхностей. В то же время эти поверхности являются поверхностями второго порядка, так как максимальное число точек пересечения каждой из них с прямой линией равно двум.

98

Параболоид вращения образуется вращением параболы t вокруг ее оси i (рисунок 109). Эта поверхность используется в качестве отражающей поверхности в прожекторах для получения параллельного пучка световых лучей.

Однополостный гиперболоид вращения образуется враще-

нием гиперболы t вокруг ее мнимой оси i (рисунок 110). Здесь же по-

казан асимптотический конус вращения, образованный вращением асимптот гиперболы. Однополостный гиперболоид находится во внешней части этого конуса.

Ранее было показано, что однополостный гиперболоид вращения является и линейчатой поверхностью, т.е. может быть образован вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси (см. рисунок 105).

Двуполостный гиперболоид вращения образуется враще-

нием гиперболы t вокруг ее действительной оси i (рисунок 111). Двуполостный гиперболоид находится во внутренней части асимптотического конуса.

Все четыре рассмотренные выше поверхности являются и поверхностями второго порядка.

Построение некоторой точки М на каждой из этих поверхностей производится при помощи их параллелей h (см. рисунки 108-111).

99

5.4. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

«Линейчатой» называется поверхность, которая описывается какой либо прямой (образующей) при ее движении в пространстве по какому-нибудь закону.

В общем случае линейчатая поверхность может быть получена движением прямой линии по трем направляющим (рисунок 112).

Помимо этого существуют и другие способы, определяющие закон движения прямолинейной образующей, описывающей линейчатую поверхность. Так линейчатую поверхность можно получить имея лишь одну направляющую линию т, если прямолинейная образующая t, двигаясь по ней, будет проходить через неподвижную точку (рисунок 113)

Рисунок 112 или будет оставаться параллельной сама себе (рисунок 114). Линейчатая поверхность получится и при движении прямолинейной образующей по двум на-

правляющим при сохранении определенного положения образующей относительно некоторой неподвижной плоскости (параллельность или постоянный наклон к ней).

Построение какой-либо точки М на линейчатой поверхности производят при помощи ее прямолинейной образующей t, проходящей через эту точку.

101

Торс образуется движением прямолинейной образующей t, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной направляющей т, называемой ребром возврата (рисунок 116).

Все рассмотренные выше поверхности относятся к числу раз-

вертывающихся поверхностей. Все другие кривые линейчатые поверхности, о которых речь пойдет ниже, относятся к классу не развертывающихся; их называют так же косыми.

5.4.2. Линейчатые поверхности с двумя направляющими

Рассмотрим некоторые из линейчатых поверхностей с двумя направляющими, у которых все образующие параллельны неподвижной плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Цилиндроид образуется движением прямолинейной образующей t по двум криволинейным направляющим α и b, причем во всех своих положениях образующая t параллельна некоторой плоскости параллелизма Б (рисунок 117).

Рисунок 117 Для построения образующих на чертеже проводят ряд плоско-

стей, параллельных плоскости параллелизма и определяют точки их пересечения с обеими направляющими α и b. Плоскость Б в данном случае является горизонтально проецирующей. Обычно же для удобства построения образующих за плоскость параллелизма принимают одну из плоскостей проекций. В этом случае все образующие будут линиями уровня.