Семинар 8 Моменты инерции твердых тел

Основные формулы

Момент инерции относительно оси вращения:

А) материальной точки , где - масса материальной точки, - расстояние материальной точки от сои вращения.

Б) дискретного твердого тела , - масса -го элемента, - его расстояние до оси вращения

В) сплошного твердого тела

Если тело однородно, то его плотность одинакова по всему объему и

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массы и длиной	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню
Тонкое кольцо, обруч радиусом и массой	Проходит через центр перпендикулярно плоскости кольца
Однородный шар массой и радиусом	Проходит через центр шара

Теорема Штейнера позволяет рассчитать момент инерции тела относительно произвольной оси , где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной оси; - расстояние между осями; - масса тела

Вопросы и упражнения

Дайте определение и запишите формулу, определяющую момент инерции материальной точки. Единицы измерения.
Дайте определение и запишите формулу, определяющую момент инерции системы материальных точек.
Дайте определение и запишите формулу, определяющую момент инерции сплошного твердого тела.
Сформулируйте теорему Штейнера.
Дайте определение центра масс.
Запишите формулы, определяющие координаты центра масс.
Запишите формулы для моментов инерции твердых тел:
От каких величин и как зависит угловое ускорение согласно основному уравнению вращательного движения тела?
Поясните физический смысл понятия «момент инерции тела».

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный длинный стержень массой m и длиной	А)Проходит через центр масс стержня перпендикулярно стержню
Однородный длинный стержень массой m и длиной	Б)проходит через точку, отстоящую на от конца стержня, перпендикулярно стержню
Тонкое кольцо массой m и радиусом R	А) проходит через центр кольца перпендикулярно его плоскости Б) проходит через середину радиуса перпендикулярно плоскости кольца
Круглый однородный диск радиусом R и массой m	а )Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости диска б)относительно оси
Однородный шар массой m и радиусом R	Проходит через центр шара

ЗАДАЧИ

Определить момент инерции материальной точки массой 20 г, находящейся на расстоянии 30 см от оси вращения.
Два маленьких шарика массой каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной . Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через центр масс.
Определить момент инерции шара относительно оси, совпадающей с касательной к его поверхности. Радиус шара , его масса .
Чему равен момент инерции тонкого прямого стержня длиной и массой относительно оси, перпендикулярной к его длине и проходящей через точку стержня, которая удалена на от одного из его концов?
Три маленьких шарика массами каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной и скреплены между собой. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности. Массами стержней, соединяющих шарики, пренебречь.
Вычислить момент инерции молекулы этилена относительно осей ох и оу, если .
Вычислить момент инерции плоской прямоугольной пластины со сторонами и относительно оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно плоскости пластины.
Вычислить момент инерции квадрата массой со стороной относительно оси, совпадающей с его диагональю.
Вычислить момент инерции проволочного прямоугольника со сторонами относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью .
Однородный диск радиуса имеет круглый вырез. Масса заштрихованной части диска равна . Найти момент инерции такого диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диск и проходящей через точку О.
Как изменится момент инерции свинцового цилиндра радиусом и высотой относительно его оси, если цилиндр сплющить в диск толщиной ?
Выведите формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии. Масса муфты равна , внутренний радиус , внешний радиус .
Найти момент инерции тонкой однородной пластины массы относительно оси, проходящей через одну из вершин пластины перпендикулярно к ее плоскости, если стороны пластины равны длиной 40 см., как это показано на рисунке.
Д ва шара массами и ( закреплены на тонком невесомом стержне Определить моменты инерции системы .относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих случаях. Размерами шаров пренебречь.
Найти момент инерции прямоугольного треугольника массой 6 кг относительно оси, совпадающей с одним из катетов, если другой катет равен 60 см.
На рис АС- диагональ прямоугольника . Во сколько раз момент инерции треугольника больше момента инерции треугольника относительно оси , совпадающей со стороной АВ?
Два однородных тонких стержня: АВ длиной и массой и длиной и массой скреплены под прямым углом. Определить момент инерции системы стержней относительно оси , проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню .
Н а концах тонкого однородного стержня длиной и массой прикреплены маленькие шарики массами . Определить момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку О, лежащую на оси стержня. Вычисления выполнить для случаев, изображенных на рисунке. Шарики рассматривать как материальные точки.