Семинар 11 Кинематика колебаний

Основные формулы

Кинематические характеристики колебательного движения:

Уравнение гармонических колебаний (путь, смещение) , где

- смещение колеблющейся точки от положения равновесия; - амплитуда колебаний ( максимальное отклонение от положения равновесия); -угловая частота; - начальная фаза колебаний; - фаза колебаний в момент времени .

Скорость точки, совершающей гармонические колебания

Ускорение при гармонических колебаниях

Угловая частота колебаний , где и - частота и период колебаний

Динамические характеристики колебательного движения:

Сила-

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия

Полная энергия

Вопросы и упражнения

1. Зависимость от времени координаты некоторой системы с одной степенью свободы имеет вид . Какое движение совершает эта система? Перечислите его основные параметры.

2. Зависимость от времени координаты некоторой системы с одной степенью свободы имеет вид: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , Какие из зависимостей описывают гармонические колебания? Определите для этих случаев значения , соответствующих положению равновесия, амплитуду, частоту и начальную фазу колебаний.

3. Уравнение колебаний задано в виде . Чему равны: а) сила, действующая на частицу при прохождении положения равновесия; б) ее скорость в тот момент, когда она находится в «крайнем» положении.

4. Энергия одномерного гармонического осциллятора имеет вид , где - масса, - коэффициент упругости. Найти амплитуду колебаний и амплитуду скорости.

5. Частица массы совершает гармонические колебания вдоль оси около точки с частотой . В начальный момент времени ее координата и скорость соответственно равны: а) ; б) ; в) . Определите для этих трех случаев полную механическую энергию частицы, амплитуду колебаний и амплитуду скорости. Написать зависимости .

6. Если , а То какая функция удобнее для записи зависимости координаты от времени : синус или косинус?

7. для случаев а и б из задачи 5 написать зависимость от времени кинетической и потенциальной энергии частицы и изобразить полученные зависимости графически.

ЗАДАЧИ

1. Уравнение колебаний точки имеет вид . Определить период колебаний и начальную фазу колебаний.

2. Написать уравнение гармонического колебания, если начальная фаза равна , амплитуда колебаний равна 5 см, а период колебаний равен 8 с.

3. Некоторая точка движется вдоль оси х по закону . Найти амплитуду, период колебаний, максимальное значение проекции скорости.

4. Точка совершает колебания вдоль оси х по закону . Построить примерные графики смещения, проекции скорости и проекции ускорения как функции времени.

5. Некоторая точка движется вдоль оси х по закону . Найти амплитуду, период колебаний, максимальное значение проекции скорости.

6. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

7. Уравнение колебаний точки массой 1,6 г имеет вид . Построить график зависимости силы, действующей на точку, в пределах одного периода.

8. Н а рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени. Определить амплитуду, период и частоту колебаний. Записать уравнение колебаний

9. Написать уравнение гармонического колебания, если начальная фаза равна: 1)  . Амплитуда колебаний и период колебаний .

10. Начертить на одном графике два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами и одинаковыми периодами , но имеющими разность фаз: .

11. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая гармонические колебания, будет иметь смещение от положения равновесия, равное половине амплитуды? Период колебаний равен 24 с, начальная фаза равна нулю.

12. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая гармонические колебания по закону , проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?

13. Уравнение движения точки дано в виде . Найти: 1) период колебаний; 2) максимальную скорость точки; 3) ее максимальное ускорение.

14. Точка совершает гармонические колебания. Период колебаний равен 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия равно 25 мм.

15. Уравнение колебаний материальной точки массой имеет вид . Построить график зависимости от времени в пределах одного периода силы, действующей на точку. Найти значение максимальной силы.

16. Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, равна , максимальное ускорение . Найти угловую частоту колебаний, период и амплитуду колебаний. Написать уравнение колебаний, приняв начальную фазу равной нулю.

17. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия х=0. Частота колебаний . В некоторый момент времени координата частицы , а ее скорость . Найти координату частицы и ее скорость через 2,4 с после этого момента.

18. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки равно 10 см, наибольшая скорость 20 см/с. Найти угловую частоту колебаний и максимальное ускорение точки.

19. Точка совершает колебания по закону . В некоторый момент времени смещение точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение стало равным 8 см. Найти амплитуду колебаний.

20. Тело совершает гармонические колебания с периодом . За какое время тело проходит весь путь от среднего положения до крайнего?

21. При гармонических колебаниях вдоль оси ОХ координата тела меняется по закону . Чему равна частота колебаний ускорения тела?

22. Тело совершает гармонические колебания по закону . Период и частота колебаний равны

23. Определите полную энергию материальной точки массой m, колеблющейся по закону .

24. Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания равна , а максимальная сила, действующая на точку- равна 0,5 мН. Напишите уравнение движения точки, если период колебаний равен 4 с, а начальная фаза колебаний .

25. Материальная точка массой 50 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид . Найти силу, действующую на точку в момент, когда фаза .

26. Колебания материальной точки массой 0,1 кг происходят согласно уравнению . Определите максимальное значение возвращающей силы и максимальное значение кинетической энергии.