Задача 8
Задана выборка из некоторой генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение:
xi |
-0,26 |
-0,12 |
0,06 |
0,11 |
0,25 |
0,28 |
0,34 |
0,44 |
0,56 |
1,12 |
ni |
1 |
41 |
21 |
31 |
1 |
11 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Найти выборочное среднее и несмещенную оценку генеральной дисперсии.
Решение
Несмещенной
оценкой генеральной средней является
выборочная средняя (
):
.
(8.1)
=
0,048.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия (s2):
.
(8.2)
=
0,034.
Ответ:
= 0,048; s2
= 0,034.
Задача 9
По
результатам 65 измерений случайной
величины, имеющей нормальное распределение
с дисперсией 0,94 см2,
получено значение выборочного среднего
= 1,5 см. Найти доверительный интервал
для оценки с надежностью 0,95 неизвестного
математического ожидания а
генеральной
совокупности.
Решение
Для оценки математического ожидания а случайной величины х, распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении σ служит доверительный интервал:
,
(9.1)
где
– точность оценки;
n – объем выборки;
х* – выборочное среднее;
t
– аргумент функции Лапласа, при котором
.
Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения:
=
0,75.
По специальной таблице определяем значение t = 1,96.
Далее находим доверительный интервал по формуле 9.1.
Ответ: .
Задача 10
Имеются данные о личных доходах Х 8 семей и их расходах на питание Y. Требуется:
а) найти выборочный коэффициент корреляции;
б) проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции;
в) составить уравнение регрессии Y на Х;
г) составить уравнение регрессии Х на Y;
д) построить прямые регрессии.
xi |
30 |
32 |
42 |
52 |
62 |
64 |
65 |
69 |
yi |
21 |
25 |
36 |
45 |
56 |
60 |
61 |
62 |
Решение
Для определения вида зависимости построим корреляционное поле (рисунок 10.1).
Рисунок 10.1 – Корреляционное поле
По
расположению точек на корреляционном
поле полагаем, что зависимость между х
и у
линейная:
Для нахождения уравнения регрессии построим таблицу.
i |
xi |
yi |
xi2 |
yi2 |
xiyi |
|
ei |
ei2 |
1 |
20 |
21 |
900 |
441 |
630 |
24 |
-3 |
9 |
2 |
32 |
25 |
1024 |
625 |
800 |
26 |
-1 |
1 |
3 |
42 |
36 |
1764 |
1296 |
1512 |
36 |
0 |
0 |
4 |
52 |
45 |
2704 |
2025 |
2340 |
46 |
-1 |
1 |
5 |
62 |
56 |
3844 |
3136 |
3472 |
56 |
0 |
0 |
6 |
64 |
60 |
4096 |
3600 |
3840 |
58 |
2 |
4 |
7 |
65 |
61 |
4225 |
3721 |
3965 |
59 |
2 |
4 |
8 |
69 |
62 |
4761 |
3844 |
4278 |
63 |
-1 |
1 |
сумма |
416 |
366 |
23318 |
18688 |
20837 |
368 |
- |
- |
среднее |
52 |
46 |
2915 |
2336 |
2605 |
46 |
- |
- |
По методу наименьших квадратов имеем:
.
(10.1)
Таким образом, уравнение регрессии Y на X имеет вид:
.
(10.2)
А уравнение регрессии Х на Y имеет вид:
.
(10.3)
Построим данные регрессии на графиках (рисунок 10.2 и 10.3).
Рисунок 10.2 – Прямая регрессии Y на X
Рисунок 10.2 – Прямая регрессии X на Y
Далее
для расчета коэффициента корреляции
рассчитаем
и еi,
используя формулу:
.
(10.4)
Для анализа силы линейной зависимости вычислим коэффициент корреляции (методом Пирсона):
.
(10.5)
Данное значение коэффициента корреляции позволяет сделать вывод о сильной (прямой) линейной зависимости между рассматриваемыми переменными х и у. Это также подтверждается расположением точек на корреляционном поле.
Значимость коэффициентов корреляции оцениваем при помощи критерия Стьюдента по формуле:
,
(10.6)
где
- среднеквадратическая ошибка коэффициента
корреляции, которая определяется по
формуле:
0,27.
(10.7)
=
3,6.
Т.к. расчетная величина 3,6 > 0,1, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой.