Задача 5

Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на заданной странице не менее трех отпечаток.

Решение

В данном примере можно ожидать, что на одной странице встретиться 0,1 опечаток (50 / 500), причем количество букв на одной странице велико, таким образом, можно воспользоваться распределением Пуассона с параметром . По другому, вероятность встретить опечатку при проверке одной буквы равна:

, (5.1)

где n – число букв на странице.

Проверяется букв, причем , то есть можно воспользоваться распределением Пуассона. Искомая вероятность будет равна:

. (5.2)

е – 4

Ответ: 1,5465.

Задача 6

Закон распределения дискретной случайной величина задается следующей таблицей:

Х	-1	0	Х3
Р	0,2	0,3	Р3

По графику M(х) = 0,8. Найти: р₃, х₃, D(x), F(x), P(x≥0). Начертить график F(x).

Решение

Сумма вероятностей = 1, тогда:

= 0,5.

Математическое ожидание M(x) рассчитывается по формуле:

. (6.1)

Из формулы (6.1) находим x₃:

2.

D(x) – дисперсия – рассчитываются следующим образом:

. (6.2)

1,56.

Пусть  х ≤ -1, тогда F(x) = 0, так как событие Х < х будет невозможным. Если -1 < х ≤ 0, то F(x) = p₁ = 0,2. Если 0 < х ≤ 2, то F(x) = p₁ + p₂ = 0,5.  Если х > 2, то F(x) = p₁  + p₂ + p₃ = 1. Окончательно получаем:

     График функции F(х) изображен на рисунке 6.1.

Рисунок 6.1 – график функции F(х)

Задача 7

Непрерывная случайная величина х задана функцией распределения F(x):

Найти а; f(x); М(х); З(х<π/6). Начертить графики f(x) и F(х).

Решение

Найдем значение параметра а, используя непрерывность функции F(x) в точке x = 1.

.

Дифференциальную функцию f(x), получаем дифференцируя функцию F(x) и подставляя значение а = 2:

.

Математическое ожидание случайной величины M(x) определяется по формуле:

. (7.1)

.

Далее определим вероятность того, что случайная величина x < π/6.

= 0,3485.

На рисунке 7.1 представлены графики функций F(x) и f(x).

Рисунок 7.1 – графики функций F(x) и f(x)