2. Построение двойственной задачи к задаче распределения ресурсов

Для построения двойственной задачи линейного программирования (ДЗЛП) следует ввести двойственные переменные: у₁ – скрытая цена первого ресурса; у₂ – скрытая цена второго ресурса; у₃ – скрытая цена третьего ресурса.

Целевая функция ДЗЛП представляет собой совокупные затраты второго предприятия на приобретение всех ресурсов первого предприятия, при этом второе предприятие стремиться, чтобы его затраты на приобретение ресурсов у первого предприятия были минимальными:

.

Ограничениями ДЗЛП является система неравенств, отражающая условия, при которых первому предприятию будет выгодно продать свои ресурсы вместо производства из них продукции, то есть при равенстве или превышении суммы, полученной от второго предприятия, над суммой дохода, полученной от реализации продукции:

.

Должно выполняться условие неотрицательности переменных:

.

Также для построения ДЗЛП можно руководствоваться следующими правилами.

1. В первой задаче определяется максимум линейной целевой функции, во второй – минимум.

2. Коэффициенты при переменных в целевой функции первой задачи являются правыми частями в системе ограничений во второй задаче.

3. Каждая из задач задана в стандартной форме, при этом в задаче максимизации все неравенства вида «меньше или равно», а в задаче минимизации все неравенства вида «больше или равно».

4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу.

Экономико-математическая модель ДЗЛП варианта 4 имеет вид:

при ограничениях

Данная ДЗЛП имеет стандартную форму записи, поскольку в задаче на минимум все функциональные (затратные) ограничения имеют знаки «больше или равно».

3. Решение прямой и двойственной задач линейного программирования

Для решения задачи линейного программирования необходимо перейти к ее канонической форме записи, то есть перейти в системе ограничений от функциональных неравенств к равенствам посредством включения дополнительных переменных.

Для ПЗЛП каноническая форма записи имеет вид:

Для перехода к канонической форме записи ПЗЛП варианта 4 следует добавить дополнительные переменные х₄, х₅, х₆, в соответствующие неравенства со знаком «+», поскольку они отражают возможный остаток неиспользованных ресурсов:

Для ДЗЛП каноническая форма записи имеет вид:

_{Дальнейшее решение приводим в симплексных таблицах.}

Соответствие переменных прямой и двойственной задачи

СБ	сj	A0	32	67	43	0	0	0	Q
	Базисные переменные (БП)		х1	х2	х3	х4	х5	х6
0	x4	65	1	4	12	1	0	0	65/4
0	x5	56	4	6	8	0	1	0	28/3
0	x6	13	1	11	9	0	0	1	13/11
zj-cj		0	-32	-67	-43	0	0	0
0	х4	663/11	7/11	0	96/11	1	0	-4/11	663/7
0	х5	538/11	38/11	0	34/11	0	1	-6/11	269/19
67	х2	13/11	1/11	1	9/11	0	0	1/11	13
zj-cj		871/11	-285/11	0	130/11	0	0	67/11
0	х4	52	0	-7	3	1	0	-1
0	х5	4	0	-38	-28	0	1	-4
32	х1	13	1	11	9	0	0	1
zj-cj		416	0	285	245	0	0	32

Задача решается на максимум.

Т.к.все оценки индексной строки в последней симплексной таблице неотрицательны, то найденный опорный план оптимален.

(13; 0; 0; 52; 4; 0) f( )= 32*13+ 67*0+43*0=416

Основные переменные x₁=13, x₂=0, x₃=0 означают, что продукции П₁ надо выпустить 13 ед., а продукции П₂ и П₃ выпускать не следует.

Т.к. x₄=52, x₅=4, то первый и второй ресурсы избыточны, их остается в избытке в количествах 52 ед.и 4 ед.соответственно. Т.к. x₆=0, то третий ресурс используется полностью.

Полученный оптимальный план является единственным.

Во взаимодвойственных задачах линейного программирования первоначальным переменным ПЗЛП соответствуют дополнительные переменные ДЗЛП и аналогично первоначальным переменным ДЗЛП соответствуют дополнительные переменные ПЗЛП.

Установим соответствие переменных прямой и двойственной задачи для варианта 4:

х1 y4

х2 y5

х3 y6

х4 y1

х5 y2

х6 у3

Имеем: (0; 0; 32; 0; 285; 245)

q( )=65*0+56*0+13*32=416= f( )

Двойственные переменные показывают меру дефицитности ресурсов, они численно равны изменению целевой функции при изменении соответствующего ресурса на единицу. Первый и второй ресурс избыточны и их увеличение не приводит к изменению целевой функции. Увеличение количества третьего ресурса на единицу приводит к увеличению значения целевой функции на y₃=32 ед.

Дополнительные двойственные переменные показывают меру убыточности продукции, которую согласно оптимальному плану выпускать не следует. Значит y₅=285 говорит о том, что стоимость ресурсов, расходуемых на единицу производства продукции второго вида (в оптимальных оценках), превосходит стоимость единицы этой продукции на y₅=285 ед.

В самом деле:

a₁₂*y₁+a₂₂*y₂+a₃₂*y₃=4*0+6*0+11*32=352

352-c₃=352-67=285= y₅

Аналогично, y₆ говорит о том, что стоимость ресурсов, расходуемых на единицу производства продукции третьего вида (в оптимальных оценках), превосходит стоимость единицы этой продукции на y₆=245 ед.

В самом деле:

a₁₃*y₁+a₂₃*y₂+a₃₃*y₃=12*0+8*0+9*32=288

288-c₃=288-43=245= y₆

Раскроем состав двойственных переменных.

y₁=0*1+0*0+32*0=0;

y₂=0*0+0*1+32*0=0;

y₃=0*(-1)+0*(-4)+32*1=32

Экономически, например, для y₃=32 это означает, что увеличение третьего ресурса на единицу повлечет за собой увеличение выпуска продукции П₁ на 1 ед., сокращение избыточного первого ресурса на 1 ед., а также сокращение избыточного первого ресурса на 1 ед., а также сокращение избыточного второго ресурса на 4 ед.