Идеализация граничных и начальных условий в гетерофазных структурах
В
традиционном (макроскопическом)
понимании, рабочие технологические
среды представляются в виде сплошных
(непрерывных) сред. Такое представление
уже само по себе является определенной
идеализацией, поскольку реальные
материальные объекты являют собой
континуум (совокупность) ограниченного
количества дискретных микрочастиц
атомного масштаба. Привлекательность
физического представления - «сплошная
среда»
обусловлена тем обстоятельством, что
в этом случае представляется возможным
использование понятия дифференциала
по геометрической координате - {
}
(в силу
«появившегося»
фактора непрерывности и однородности
физического пространства). Практическая
целесообразность использования
идеализации этого типа состоит в том,
что с ее помощью появляется возможность
практического применения эффективного
математического аппарата (дифференциальные
уравнения) для определения кинетических
закономерностей технологических
процессов.
Использование дифференциальных уравнений (обыкновенного или в частных производных), приводит к появлению еще одного типа идеализаций, связанного с необходимость выбора оптимальных граничных и начальных условий (с точки зрения упрощения процедуры нахождения решения, с одной стороны, и, с другой стороны – сохранения физической адекватности постановки задачи).
Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно решение, соответствующее реальному физическому процессу или объекту. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (задача Коши [20]). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определенных классов краевых задач. Начальные и граничные условия являются естественным дополнением к основному дифференциальному уравнению, и определяют его решение соответственно в начальный момент времени или на границе раздела рассматриваемой области физического пространства с внешней средой.
В общем случае, задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:
решение должно существовать в каком-либо классе функций;
решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;
решение должно непрерывным образом зависеть от ряда данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т.д.).
Следует особо подчеркнуть, что все реальные технические системы и физико-химические процессы (и в том числе технологические процессы), а уж тем более устройства и процессы наноразмерного масштаба, реализуются в области ограниченного физического пространства, имеющей вполне определенные геометрические размеры. Для привязки физико-математических моделей этих устройств к конкретной физической (инженерной) проблематике и к упомянутой выше области пространства, необходимо, как правило, задать не тривиальные (с точки зрения традиционных макроскопических подходов) начальные и граничные условия модели. Процедура выбора начальных и граничных условий может потребовать от разработчика определенных элементов творческой фантазии, в части учета специфики размерных ограничений субатомного масштаба.
Задание граничных условий (т.е. условий на границах раздела расчетной области с внешней средой) является обязательным условием для всех типов краевых задач (как стационарных, так и нестационарных). Фактически, граничные условия определяют связь (привязку) физических процессов в расчетной области геометрического пространства с физическими параметрами окружающей среды (термостата).
Физические параметры поверхностей твердых тел, контактирующих с подвижными средами (например, при диффузионном поверхностном или объемном транспорте атомов) задаются изначально с известной долей условности. Эта степень условности и составляет предмет идеализации. Например, границы раздела сред считаются абсолютно отражающими или проницаемыми для процессов переноса материальных сред (например, диффузионного характера).
Таким образом, при постановке краевых задач (весьма характерных для наноразмерных структур), возникает широкое поле деятельности в направлении выбора оптимальных начальных и граничных условий. Сам характер этой деятельности напрямую связан с процессом введения в рассмотрение достаточно широкого круга различного рода идеализаций, как для самих процессов, так и для физико-технических параметров рассматриваемых наноразмерных структур.
Здесь
уместно отметить еще один важный аспект,
относительно существенно возрастающей
роли граничных условий при переходе к
процессам и структурам наноразмерного
масштаба. Суть этого аспекта состоит в
том, что в этих объектах имеет место
весьма неблагоприятное (с точки зрения
возможности влияния поверхностных
эффектов на объемные макроскопические
свойства материалов и технологических
сред) соотношение
,
где:
.и
- соответственно количество атомов,
расположенных на поверхности и в объеме
рассматриваемой материальной среды
наноразмерного масштаба. В этой связи
использование понятия – «объемное
свойство материальной среды» становится
проблематичным, а физические свойства
пространственных областей, непосредственно
примыкающих к самой границе раздела
начинают приобретать доминирующую
роль.