образует базис n- мерного пространства, если определитель, составленный из координат этих векторов, не равен нулю. Всякий вектор n- мерного пространства разлагается по векторам любого базиса этого пространства, и притом единственным образом по формуле

,

где образуют базис n- мерного пространства, b - вектор этого пространства, не принадлежащий базису. Коэффициенты этого разложения являются координатами вектораb в этом пространстве, т.е. .

Пример. Проверить, что векторы

образуют базис в R³. Найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Покажем, что векторы образуют базис в R³ . Составим определитель из координат векторов.

Так как D = -1  0, то векторы - линейно независимы, а значит, образуют базис в R³. Вектор b не принадлежит этому базису, поэтому его можно единственным образом разложить по базису .

получаем следующую систему линейных уравнений

Решим систему методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и произведем над ней элементарные преобразования:

Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной

х₃ = 2, х₂ = -1 + х₃ = -1 + 2 =!, х₁ = 3 - х₃ = 3 – 2 = 1.

Итак, . Значит, в базисе вектор b имеет координаты

7. Ряды

7.1. Числовые ряды

Пусть дана числовая последовательность u_1, u₂, u₃ ,…, u_n, … . Числовым рядом называется выражение

u_1,+ u₂ +u₃ +…+ u_n + … .

Сумма первых n членов числового ряда называется n - ой частичной суммой ряда. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм числового ряда, то этот ряд называется сходящимся, а величина предела называется суммой числового ряда

,

где S-сумма ряда. Не сходящийся ряд называется расходящимся. Если ряд сходящийся, то предел его общего члена равен 0 (необходимый, но недостаточный, признак сходимости числовых рядов)

.

Из него следует достаточный признак расходимости числовых рядов: если

,

то ряд расходящийся. Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены положительные числа.

Признак Даламбера сходимости положительных рядов. Дан положительный ряд u_1,+ u₂ +u₃ +…+ u_n + … . Обозначим через r предел отношения последующего члена ряда к предыдущему при n  .

.

Если r < 1, то ряд сходящийся, r > 1, то ряд расходящийся, r = 1, ничего о сходимости ряда сказать нельзя.

Интегральный признак Коши сходимости положительных рядов. Дан числовой ряд u_1,+ u₂ +u₃ +…+ u_n + … , члены которого положительны и не возрастают: u₁  u₂  u₃  … u_n  … 0. Дана непрерывная функция y = f(x) такая, что u₁ = f(1), u₂ = f(2), u_n = f(n). Если

,

то ряд сходящийся, если

,

то ряд расходящийся.

Признак сравнения рядов с положительными членами. Даны два ряда

u_1,+ u₂ +u₃ +…+ u_n + … (1)

v₁+v₂ + v₃ +…+ v_n +… (2)

и выполняется условие u_к  v_к. Если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится. Если ряд (1) расходится, то ряд (2) так же расходится.

Ряд называется знакочередующимся, если два любых рядом стоящих члена имеют разные знаки.

Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Дан знакочередующийся ряд

u_1,- u₂ + u₃ – u₄ +…+ (-1)^n-1 u_n + … .

Если u₁ > u₂ > u₃ > u₄ >…> u_n >… и , то данный ряд сходится. Составим ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда.

 u₁  +  u₂  +  u₃  +…+  u_n  +… .

Если полученный ряд сходится, то будет сходящимся и ряд знакочередующийся ряд. Такая сходимость называется абсолютной. Если знакочередующийся ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, то ряд называется условно или не абсолютно сходящимся.

Пример. Дана геометрическая прогрессия a, aq, aq², … , aq^n-1 . Сумма ее членов составляет числовой ряд a+ aq+ aq²+ … + aq^n-1 +…. и n - я частичная сумма этого ряда

.

а) q  < 1

-конечное число.

б) q  > 1

.

в) q =-1. Получаем ряд а – а + а – а + … . Тогда последовательность частичных сумм - а, 0, а, 0, а, 0, …- чередующаяся, она принимает два значения а и 0 и ни к какому пределу не стремится.

г) q = 1. Частичная сумма имеет вид S_n = a + a + a + … + a = an и

.

Итак, сумма членов геометрической прогрессии образует ряд сходящийся, если q < 1 и расходящийся, если q  1.