7.2 Визначення характеристик портфеля цінних паперів

Позначимо через R_i випадкову величину норми прибутку ЦП і-го виду , W_i — обсяг інвестованих у нього коштів, W — загальний обсяг коштів, інвестованих у ПЦП. Нехай х_i = W_i / W, i = 1, …, N, тобто х_i — це частка інвестицій у ЦП i-го виду. Очевидно, що x_i  0, при цьому .

Під структурою ПЦП розуміють співвідношення часток інвес­тицій у ЦП різних видів. Структуру ПЦП можна задати вектором .

Випадкова величина норми прибутку ПЦП, складеного з N видів ЦП:

.

Сподівана норма прибутку ПЦП:

.

Оцінка ризику ПЦП, яку, згідно із класичним підходом, обчис­люють як дисперсію його норми прибутку:

= ,

де — коваріація випадкових величин R_i та R_l; _il — коефіцієнт кореляції між R_i та R_l,  — коваріаційна матриця.

7.3 Портфель з двох видів цінних паперів

Надалі будемо вважати, що для акцій A₁ та A₂ мають місце співвідношення: m₁ > m₂, ₁ > ₂. Власне, це визначає доцільність утворення портфеля з цих акцій.

Структура портфеля з двох видів ЦП задається вектором , а випадкова величина норми прибутку, сподівана нор­ма прибутку й оцінка ступеня ризику визначаються відповідно за формулами:

; ; ;

Нехай , , , тоді:

.

Ця парабола в системі координат « » проходить через точки А₁(1;  ) та А₂(0; ), які відповідають однорідним портфелям, складеним відповідно з ЦП А₁ та А₂ (рис. 2.1.8 а).

а) б)

Рис. 2.1.8. Залежність оцінки ризику ПЦП від: а) х — частки акції першого виду; б) m_П — сподіваної норми прибутку ПЦП

Легко переконатись [7], що тобто задана парабола є опуклою вниз і досягає свого мінімального значення у точці (вершині) .

Дослідження з теорії портфеля часто здійснюють у системах координат «х — » або «т — », при цьому дуга А₂О*А₁ (область допустимих ПЦП) також опукла вниз на досліджуваному інтервалі зміни аргументу ( чи ).

Координати вершини параболи :

,

де , .

Сутність ефекту диверсифікації полягає в тому, що збільшення сподіваної норми прибутку m_П (починаючи з мінімального можливого значення) на певному етапі може супроводжуватися зменшенням оцінки ризику ПЦП — .

Згідно з рис. 2.1.8 б, за збільшення m_П від m₂ до оцінка ризику ПЦП зменшується від до . Подальше збільшення m_П (від до m₁) призводить до збільшення оцінки ризику від до Отже, диверсифікація ефективна, коли абсциса вершини параболи О^* належить проміжку [m₂; m₁].

Оскільки , то з формули для обчислення х* отримуємо , тобто ₁₂  . Отже, для портфеля з двох видів ЦП диверсифікація ефективна, коли коефіцієнт кореляції їх норм прибутку — ₁₂, належить проміжку [–1; '), де ' =  . Наголосимо, що чим менше значення ₁₂, тим меншим буде ризик портфеля й ефективнішою — диверсифікація.

7.4 Портфель з багатьох видів цінних паперів

Область, точки якої характеризують ступінь ризику та сподівану норму прибутку портфеля за всіх можливих структур, називається множиною допустимих ПЦП.

Для портфеля з багатьох видів ЦП (N > 2) ця множина має вигляд заштрихованої області (див. рис. 2.1.9).

Рис. 2.1.9. Множина допустимих портфелів цінних паперів (N = 3)

Множина портфелів, що відповідають точкам дуги О*А₁, є множиною ефективних ПЦП, тобто портфелів, для яких у множині допустимих ПЦП не можна вказати інших:

• з тим самим значенням т_П і меншим значенням ;

• з тим самим значенням і більшим значенням т_П.

Залежно від цілей інвестора можна вирізнити кілька задач формування портфеля. Розглянемо їх сутність і математичні моделі.

Задача збереження капіталу. Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб оцінка ризику портфеля була міні- мальною. Формально це однокритеріальна оптимізаційна задача (нелінійного програмування).

Математична модель задачі:

,

Портфель із мінімальним ризиком у моделі Марковіца існує завжди. Знайти структуру такого ПЦП можна, побудувавши функ­цію Лагранжа та визначивши її точки мінімуму [7].

Задача одержання бажаного (фіксованого) прибутку (модель Марковіца). Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, за якої його сподівана норма прибутку буде не меншою заданого рівня — m_K (m_K = const), а оцінка ризику при цьому буде мінімальною. Формально це однокритеріальна задача на умовний екстремум.

Математична модель задачі:

; ;

Задача забезпечення приросту капіталу. Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб його оцінка ризику не перевищувала заданого рівня — _L (_L = const) і при цьому досягалася б максимальна величина сподіваної норми прибутку. Формально, як і в попередньому випадку, це однокритеріальна задача на умовний екстремум.

Математична модель задачі:

; ;