6. Минимизация фал.

В большинстве случаев совершенная форма записи ФАЛ не является самой простой для аналитического задания КЦУ. Следовательно, её техническая реализация приведёт к излишне сложному устройству. Поэтому логическое выражение прежде всего следует упростить, не нарушая при этом значения функции.

Упрощение ФАЛ с сохранением её свойств называется минимизацией.

Целью минимизации является переход от совершенной формы записи ФАЛ к соответствующей нормальной форме с минимальным числом членов и минимальным числом аргументов в каждом из них.

Существует два класса методов минимизации ФАЛ: графические и алгебраические. Из графических методов наибольшее практическое применение получил метод карт Вейча-Карно.

1. Минимизация ФАЛ с помощью карт Вейча-Карно.

Карта Вейча-Карно представляет собой специальную форму таблицы истинности для двух, трёх или четырёх аргументов:

n = 2 n = 3 Число клеток карты определяется числом

х₁ х₁ х₁ х₁ возможных наборов значений аргументов и

х ₀ х₀ при числе аргументов n равно 2ⁿ.

х₀ х₀ Таким образом, каждая клетка карты соответ- х₂ х₂ х₂ ствует определённому набору аргументов.

n = 4

х₁ х₁ Минимизация производится в следующей

х ₀ х₃ последовательности. Отмечаются клетки карты, соответствую-

х₃ щие членам исходной функции или, иными

х₀ х₃ словами, наборам аргументов, на которых х₂ х₂ х₂ функция обращается в 1, если используется

СДНФ, либо в 0, если используется СКНФ. При этом, в случае частично определённой функции учитываются и безраз- личные наборы.

Отсюда следует, что размечать карту можно непосредственно по таблице истинности.

Каждая отмечаемая клетка расположена на пересечении строк и столбцов таблицы, одноимённых с аргументами соответствующего члена функции.

Например, пусть КЦУ задано таблицей истинности:

№ набора х₂ х₁ х₀ у Соответствующая ей ФАЛ будет иметь вид:

0 0 0 0 0 у_СДНФ = х₂х₁х₀  х₂х₁х₀  х₂х₁х₀  х₂х₁х₀  х₂х₁х₀ или

1 0 0 1 0 у_СКНФ = (х₂  х₁  х₀)( х₂  х₁  х₀)( х₂  х₁  х₀)( х₂ 

2 0 1 0  х₁  х₀).

3 0 1 1 1 Первый член функции в СДНФ и третий в СКНФ

4 1 0 0 1 соответствуют безразличному набору.

5 1 0 1 0 Представим таблицу истинности в форме карты

6 1 1 0 1 Вейча-Карно.

7 1 1 1 1 Для разметки карты переменные каждого из членов функции в совершенной форме следует рассматривать как координаты. В соответствии с этим определим клетку, соответствующую первому члену функции в СДНФ. Координата х₀ определяет нижнюю строку карты, коорди-

ната х₁ - два первых столбца, а координата х₂ - два крайних столбца. Все координаты пересекаются на единственной клетке карты - нижней левой угловой.

случай СДНФ случай СКНФ Остальные клет-

х₁ х₁ х₁ х₁ ки находятся х₀ I х₀ I  аналогично не-

1 1 0 зависимо от

х₀  1 1 II х₀ 0 0 II формы предс- тавления ФАЛ. х₂ х₂ х₂ х₂ х₂ х₂

х₁ х₁

х₀ Далее отмеченные клетки объединяются в

х₀ замкнутые области. При этом используются

х₂ х₂ х₂ следующие правила:

1) каждая область должна представлять собой прямоугольник с числом клеток 2^k, где k = 0, 1, 2, ... Т.е. область может содержать одну клетку (k = 0), две клетки (k = 1), четыре (k = 2), восемь (k = 3) и т.д. Кроме того, нельзя объединять клетки, расположенные по диагонали, а также разделённые неотмеченными клетками.

х х х Например, в область можно объединить две верхние ле-

вые клетки, но нельзя объединить нижние и крайние

х х правые.

В то же время число клеток в области должно быть максимально возможным, поскольку только тогда число аргументов в соответствующем члене минимизированной функции будет минимальным;

2) одни и те же клетки могут входить в разные области, т.е. области могут пересекаться.

Н апример, при следующей разметке карты х х следует сформировать две пересекающиеся области; х

3) допускается сворачивание карты в цилиндр как по горизонтальной, так и по вертикальной оси с объединением противоположных граней

карты.

Например, карту, размеченную следующим образом, следует свернуть сна-

х х х чала по вертикальной оси, что даёт две области

по две клетки каждая. Затем свернуть карту по

горизонтальной оси, в результате чего получает-

ся область, состоящая из четырёх клеток;

х х х 4) при участии всех отмеченных клеток в

х х процедуре формирования областей следует

стремиться к минимальному числу областей, поскольку только тогда число членов минимизированной функции будет

минимальным.

Вернёмся к нашему примеру и сформируем области из отмеченных клеток. В случае СДНФ учёт безразличного набора позволил расширить первую из областей, что в итоге уменьшит число переменных в соответствующем члене минимальной функции. В случае же СКНФ учёт безразличного набора даст лишнюю область, что увеличит число членов минимальной функции. Поэтому в данном случае безразличный набор учитывать не следует.

Таким образом, учёт безразличных наборов в ряде случаев повышает эффективность минимизации.

Наконец, в соответствии с выделенными областями записывается минимальное выражение в нормальной форме. При этом каждая область определяет отдельный член минимальной функции, который составляется лишь из тех аргументов, которые в данную область входят либо только с инверсией, либо только без инверсии.

Запишем минимальную функцию для нашего примера. В случае СДНФ в первую область первая переменная входит только без инверсии, а остальные - как с инверсией, так и без инверсии. Следовательно, соответствующий член минимальной функции состоит только из переменной х₁. Во вторую область переменная х₀ входит только с инверсией, х₂ - только без инверсии, а х₁ - как с инверсией, так и без неё. Следовательно, второй член минимальной функции состоит из переменных х₀ и х₂. Поскольку исходной является функция в СДНФ, то минимальная функция запишется в ДНФ: у_МДНФ = х₁  х₀х₂.

В случае СКНФ в первую область переменные х₁ и х₂ входят только без инверсии, а х₀ - как с инверсией, так и без неё. Следовательно, х₁ и х₂ и составляют соответствующий член минимальной функции. Во вторую область переменная х₀ входит только с инверсией, х₁ - только без инверсии, а х₂ - как с инверсией, так и без неё. Следовательно, вторая переменная отбрасывается. Поскольку исходной является функция в СКНФ, то минимальная функция запишется в КНФ: у_СКНФ = (х₁  х₂)(х₀  х₁).

Для минимизации функций с числом аргументов более четырёх карты Вейча-Карно практически не используются, поскольку области охвата клеток становятся многомерными (трёх-, четырёхмерными и т.д.). В этих случаях целесообразны алгебраические методы минимизации, из которых наибольшее практическое применение получил метод Квайна.

2. Минимизация ФАЛ методом Квайна.

Минимизация производится в следующей последовательности.

ФАЛ представляется в одной из совершенных форм после чего члены, отличающиеся только в одной переменной, объединяются в пары.

Две функции отличаются в одной переменной, если эта переменная в одну из них входит с инверсией, а в другую без инверсии. Других различий нет.

Это понятие применимо к членам ФАЛ в совершенной форме, поскольку каждый из них представляет собой функцию конституенты единицы или нуля.

Пары могут пересекаться, т.е. один и тот же член функции может входить в различные пары.

При условии участия в процедуре группирования всех членов функции, число пар должно быть минимальным.

Например, для функции у_СДНФ = х₂х₁х₀  х₂х₁х₀  х₂х₁х₀  х₂х₁х₀ можно образовать три пары: 1) х₂х₁х₀  х₂х₁х₀ (отличаются только в первой переменной), 2) х₂х₁х₀  х₂х₁х₀ (отличаются только во второй переменной), 3) х₂х₁х₀  х₂х₁х₀ (отличаются только в нулевой переменной). Однако третья пара избыточна, поскольку и второй, и четвёртый члены функции уже задействованы в первой и второй парах, соответственно.

К сформированным парам в случае СДНФ применяют операцию скле-ивания, а в случае СКНФ - операцию поглощения.

Так, в результате применения закона склеивания пары нашего примера примут вид:

1) х₂х₁х₀  х₂х₁х₀ = х₂х₀, 2) х₂х₁х₀  х₂х₁х₀ = х₁х₀.

Результат преобразования каждой пары представляет собой член минимальной функции.

Для нашего примера получаем: у_МДНФ = х₂х₀  х₁х₀.

В случае не полностью определённого КЦУ при записи ФАЛ в совершенной форме полагается, что на безразличных наборах функция обращается в 1(при использовании СДНФ) или в 0 (при использовании СКНФ). Т.е. безразличные наборы обязательно учитываются.

Следует отметить, что метод Квайна можно и нужно пытаться применить повторно до получения действительно минимальной функции.