2. Комбинационные цифровые устройства (кцу).

2.1. Последовательность синтеза кцу.

Устройство, преобразующее входные цифровые сигналы в выходные, называется цифровым.

В общем случае цифровое устройство имеет n входов

x ₀ у₀ и m выходов.

. . Преобразование цифровых сигналов производится

. ЦУ . устройствами двух классов: комбинационными и пос-

. . ледовательностными. Последовательностные устройст-

х_n-1 у_m-1 ва мы рассмотрим позже.

Цифровое устройство, выходные сигналы которого в любой момент времени зависят только от комбинации входных сигналов в тот же момент времени, называется комбинационным.

Таким образом, результат преобразования вырабатывается КЦУ сразу при изменении входных сигналов.

Значение каждого разряда выходного слова КЦУ однозначно определяется совокупностью значений всех n разрядов входного слова и может быть равно нулю или единице. Иными словами, каждому двоичному набору на входе КЦУ будет соответствовать 0 или 1 на соответствующем его выходе.

Функция, однозначно определяющая соответствие каждого двоичного набора нулю или единице, называется функцией алгебры логики (ФАЛ).

Таким образом входные слова являются наборами значений аргументов ФАЛ.

ФАЛ известны ещё и как булевы функции (в честь основателя алгебры логики ирландского математика Джорджа Буля).

Математический аппарат алгебры логики (булевой алгебры) используется для описания законов функционирования КЦУ.

Синтез КЦУ проводится в следующей последовательности:

1. Задание закона функционирования.

2. Запись и минимизация ФАЛ.

3. Запись минимальной ФАЛ в заданном базисе.

4. Построение структурной схемы устройства.

Рассмотрим каждый из этих этапов в отдельности.

ЛЕКЦИЯ 3

2.2. Табличный и скобочный способы задания кцу.

Поскольку число входных наборов является конечным, то любое КЦУ может быть задано конечной таблицей, называемой таблицей истинности. Например, при двух входах х₁ и х₀ и одном выходе "у" эта таблица будет иметь вид:

№ набора	х1	х0	у
0	0	0	1
1	0	1	0
2	1	0	0
3	1	1	1

Количество строк таблицы истинности определяется количеством возможных различных входных наборов и равно 2ⁿ, где n - разрядная сетка входных наборов.

В строках таблицы записываются все возможные входные наборы и соответствующие им выходные наборы.

В первом столбце таблицы по порядку записываются десятичные номера входных наборов, а в остальных - значения разрядов входных и выходных наборов.

Каждый входной набор представляет собой двоичную запись своего номера.

Если значения разрядов выходных наборов определены для каждого входного набора, то такое КЦУ называется полностью определённым.

На практике бывают ситуации, когда некоторые наборы никогда не появляются на входе либо безразлично, будут они или нет. В обоих случаях значения разрядов соответствующих выходных наборов безразличны и такое КЦУ называется не полностью или частично определённым.

Итак, если значения разрядов выходных наборов безразличны хотя бы на одном входном наборе, то такое КЦУ называется не полностью или частично определённым.

В таблице истинности эти ситуации отражаются символом "тильда".

Пусть в нашем примере второй набор никогда не появляется на входе. То-

гда третья строка таблицы истинности будет иметь

2

1

0



вид:

Задание КЦУ таблицей истинности не всегда удобно. При большой разрядной сетке входных наборов таблица становится громоздкой и теряет наглядность. Так, уже при 6-разрядной сетке таблица истинности будет содержать 64 строки.

Выходом является скобочная запись, где для каждого разряда выходных наборов перечисляются номера входных наборов, обращающие его значение либо в ноль (используются круглые скобки), либо в единицу (используются квадратные скобки).

Такое правило записи соответствует полностью определённому КЦУ.

Например, первую таблицу истинности можно заменить следующей записью: у(х₁,х₀) = f(1,2) или у(х₁,х₀) = f[0,3].

В случае не полностью определённого КЦУ используют оба вида скобок. Например, вторую таблицу истинности можно заменить следующей за-

писью: у(х₁,х₀) = f(1,[0,3]) или у(х₁,х₀) = f[0,3,(1)] , откуда следует, что на втором наборе значение выхода безразлично.

КЦУ может быть задано и аналитически в виде набора ФАЛ. Как правило, это сложные функции, состоящие из множества элементарных.

2.4. Аналитический способ задания КЦУ.

Аналитический способ заключается в описании закона функционирования КЦУ в виде ФАЛ. При этом ФАЛ наиболее часто записываются с помощью инверсии, дизъюнкции и конъюнкции.

Логические функции, представляющие собой дизъюнкции (конъюнкции) отдельных членов, каждый из которых содержит только конъюнкции (дизъюнкции) и инверсии, называются логическими функциями дизъюнктивной (конъюнктивной) формы. Здесь и далее всё что в скобках относится к определению ФАЛ конъюнктивной формы.

Примеры записи ФАЛ от трёх аргументов:

в дизъюнктивной форме - у_ДФ = х₀х₁х₂  х₀х₁,

в конъюнктивной форме - у_КФ = (х₀  х₁  х₂)  (х₀  х₂).

Если в функции дизъюнктивной (конъюнктивной) формы инверсия применяется лишь непосредственно к аргументам, то такая форма представления функции называется дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой.

Примеры записи ФАЛ от трёх аргументов в нормальных формах:

дизъюнктивной - у_ДНФ = х₀х₁х₂  х₀х₁  х₁х₂,

конъюнктивной - у_КНФ = (х₀  х₁  х₂)(х₀  х₁).

Если каждый член дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной функции содержит все аргументы, то такая форма представления функции называется совершенной дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой.

Примеры записи ФАЛ от трёх аргументов в совершенных формах:

дизъюнктивной - у_СДНФ = х₀х₁х₂  х₀х₁х₂,

конъюнктивной - у_СКНФ = (х₀  х₁  х₂)(х₀  х₁  х₂).

Произвольная функция от n аргументов может быть выражена как в виде СДНФ, так и в виде СКНФ.

Функция в любой из совершенных форм может быть получена на основе таблицы истинности или, при достаточном опыте, её скобочной записи. При этом используется следующее правило.

В СДНФ (СКНФ) записывается столько членов, сколько единиц (нулей) содержит функция в таблице. Каждый член функции соответствует набору аргументов, обращающих её в 1 (0), и если в этом наборе значение аргумента равно нулю (единице), то в член функции входит его инверсия.

Таким образом, каждый член функции в СДНФ представляет функцию конституенты единицы, а в СКНФ - конституенты нуля.

№ набора	0	1	2	3
х1	0	0	1	1
х0	0	1	0	1
у	1	0	0	1

Поясним правило записи функции в совершенной форме на примере следующей таблицы истинности:

Поскольку функция имеет две единицы, то в СДНФ она будет содержать два члена, один из которых соответствует нулевому набору, а другой - третьему.

На нулевом наборе оба аргумента имеют нулевое значение, следовательно, соответствующий член функции будет иметь вид: х₁х₀. Второй член функции запишется в виде х₁х₀, поскольку на третьем наборе оба аргумента имеют значение единицы. Таким образом, функция в СДНФ будет иметь вид: у_СДНФ = х₁х₀  х₁х₀.

В СКНФ функция также будет содержать два члена, соответствующих первому и второму наборам. На первом наборе х₀ имеет значение 1, следовательно, в соответствующий член функции войдёт его инверсия: х₁  х₀. На втором наборе значение 1 имеет х₁, следовательно второй член функции запишется как х₁  х₀. Таким образом, функция в СКНФ будет иметь вид: у_СКНФ = (х₁  х₀)(х₁  х₀).

Далее приводятся основные законы и тождества алгебры логики, поскольку они лежат в основе второго и третьего этапов синтеза КЦУ.