4.3 Дифференциальное уравнение теплопроводности

Теория теплопроводности не рассматривает механизм процесса распространения теплоты, а ограничивается описанием этого процесса на основе закона сохранения энергии и закона Фурье.

(4.3)

Дифференциальное уравнение Фурье отражает общий характер процесса, которое имеет множество решении. Для получения решения, соответствующего конкретной единичной задаче, необходимо задание условии однозначности. В условие однозначности входят геометрические условия, физические параметры материала, начальные условия и граничные условия. Условия однозначности содержат описание всех частных особенностей процесса, которые выделяют единичное явление из всего класса явлений теплопроводности.

Геометрические условия характеризуют форму и размер тела, в котором протекает процесс.

Физические условия определяют числовые значения всех физических параметров тела, входящих в дифференциальное уравнение теплопроводности и граничные условия, а также распределение внутренних источников теплоты q_v.

Временные (начальные) условия характеризуют распределение температуры в теле в начальный момент времени и заключаются в том, что для начального момента времени τ₀ должна быть известна функция t = f(x, y, z, τ₀).

Граничные условия определяют особенности протекания процесса на границах тела и могут быть заданы следующим образом.

Граничные условия первого рода заключаются в том, что задается температура на поверхности тела.

Граничные условия второго рода заключаются в задании плотности теплового потока на поверхности тела.

Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры окружающей среды и интенсивности теплообмена на поверхности тела. Эта интенсивность теплообмена оценивается коэффициентом теплоотдачи α.

Граничные условия четвертого рода характеризуются равенством тепловых потоков, проходящих через поверхность контакта двух тел.

4.4 Теплопроводность через однослойную и многослойную плоскую стенки при граничных условиях первого рода

Рассмотрим плоскую стенку (рис.4.3) толщиной δ. Пусть на левой поверхности стенки поддерживается температура t₁, а на правой температура t₂. Теплопроводность λ материала стенки практически постоянна. Внутри стенки нет источников теплоты. Требуется определить температурное поле в стенке и плотность теплового потока q.

Согласно закону Фурье, тепловой поток проходящий через стенку, прямо пропорционален поверхности, разности температур t₁ и t₂ и обратно пропорционален толщине δ. Тогда

(4.4)

Плотность теплового потока q (Вт/мК) определяют из выражения

(4.5)

Отношение называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина δ/λ (м²К/Вт) - термическим сопротивлением (R_λ) теплопроводности.

Рис.4.3. Схема передачи теплоты теплопроводностью через плоскую однослойную стенку

Передача теплоты может осуществляться через многослойную плоскую стенку. Примером может служить теплоизоляционное ограждение стационарных холодильных камер. Рассмотрим определение теплового потока теплопроводностью через многослойную стенку (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Схема передачи теплоты теплопроводностью через плоскую многослойную стенку

В этом случае термическое сопротивление многослойной стенки определится как сумма термических сопротивлений всех слоев:

R_λ =δ/λ₁+δ₂/λ₂+…+δ_n/λ_n

Плотность теплового потока равна

(4.6)

Распределение температур в пределах каждого слоя – линейное, однако в различных слоях угол наклона температурной прямой отличается: более резко изменяется температура в том материале, который является лучшим теплоизолятором или имеет меньшее значение λ.