2.1. Методичні рекомендації до самостійної роботи

Самостійна робота виконується студентами заочної форми навчання під час опрацювання матеріалу лекцій, практичних занять, рекомендованеої літератури, виконанні домашньої контрольної роботи. Для надання допомоги студентам в оволодінні методикою розрахунків задач з курсу "Інвестиційний менеджмент" наводяться основні розрахункові формули та приклади рішення типових задач курсу. Рішення окремих типових задач розглядається при проведенні практичних

занять в аудиторний час.

Основні поняття до розділу 1. ТЕОРЕТИЧНІ І МЕТОДИЧНІ ОСНОВИ ІНВЕСТИЦІЙНОГО МЕНЕДЖМЕНТУ.

Компаундінг - процес визначення майбутньої вартості грошових коштів за

наявності теперішньої вартості.

Дисконтування - процес визначення теперішньої вартості грошових коштів,

якщо відома їх майбутня вартість.

Простий процент - нарахування з теперішньої вартості вкладу в кінці одного періоду платежу, зумовленого умовами інвестування (місяць, квартал

тощо).

Простий процент обчислюється за формулою (1.1):

І = Ріt, (1.1)

де I- величина прибутку власника інвестицій;

і - процентна ставка;

t - період часу інвестування;

Р - первісна сума інвестиції (вкладу).

Сутність методу нарахування за простими процентами зводиться до того, що проценти нараховуються впродовж усього терміну інвестицій (кредиту) на ту саму

величину капіталу, що інвестується. Наприкінці періоду І сума, одержувана інвестором, дорівнює Р +1. Тоді:

S = Р + І = Р + Ріt = Р(1 + іt). (1.2)

Величина (1 + іt) зветься множником нарощування простих процентів. При використанні простих процентів, коли термін угоди не дорівнює цілому числу років, період нарахування процентів виражається дробовим числом, тобто як відношення числа днів функціонування угоди до числа днів у році (1.3):

t=n/K (1.3)

де n - число днів функціонування угоди;

К— часова база (кількість днів у році).

В цьому разі формула (1.2) набуде такого вигляду:

(1.4)

При математичному дисконтуванні розв'язується задача, зворотна

визначенню нарощуваної суми. Формулюється задача таким чином: яку суму

необхідно інвестувати на t років, щоб при нарахуванні на неї процентів за ставкою

;' отримати суму, що дорівнює 5.

Використовуючи формулу (1.2) розрахунку нарощуваної суми за простою процентною ставкою, отримаємо:

(1.5)

де знаменник 1/(1 + іt) - дисконтний множник, що показує, в скільки разів первісна сума є меншою від нарощеної. Похідні формули з формули (1.5):

Складні проценти. Метод нарахування по складних процентах полягає в тому, що в першому періоді нарахування здійснюється на первісну суму інвестицій (кредиту), після цього вона складається з начисленим процентом і в кожному

наступному періоді проценти нараховуються на вже нарощену суму. Тож база для нарахування процентів постійно змінюється.

при ;

при ;

при ;

де (1+i) - складний декурсивний коефіцієнт;

(1 +i)" - множник нарощування складних процентів.

Якщо впродовж терміну угоди процентні ставки змінюються в часі, але в певні терміни, то нарощена сума в цьому разі визначається за формулою:

(1.8)

де - послідовні значення процентних ставок; п^п_г,...,п_к - періоди продовж яких використовуються відповідні ставки.

Використовуючи множники нарощування за простими і складними процентними ставками, можна визначити час, необхідний для збільшення первісної суми в N разів.

Щоб первісна сума Р збільшилася в N разів, потрібно, щоб множники нарощування дорівнювали N. тобто:

для простих процентних ставок 1 + пі„= N, звідки

п = (И-1)/і_н (1.9)

для складних процентних ставок (і + і_с)" = дг, звідки

(1.10)

Тож для збільшення первісної суми інвестицій у 3 рази при річній простій процентній ставці 6%, потрібні 33 роки і 4 місяці, а при річній складній процентній праці 6% - 18 років та 11 місяців.

В депозитних угодах, у контрактах на отримання кредиту передбачається капіталізація процентів декілька разів на рік по півріччях, кварталах, іноді щомісячно. Однак квартальні чи місячні процентні ставки не вказуються, а вказується річна процентна ставка, яку називають номінальною. Крім того, зазначається кількість періодів нарахування процентів на рік - т. Якщо п -кількість років, то К = тп - кількість періодів нарахування процентів за весь термін угоди (контракту). Тоді для нарахування відсотків т разів на рік використовується формула:

^(1.11)

Ефективна ставка вимірює той реальний відносний прибуток, що одержує кредитор (інвестор) у цілому за рік. Ефективна ставка, іншими словами, відповідає на питання, яку річну ставку складних процентів необхідно встановити, щоб отримати такий самий фінансовий результат, як і при /я-разовому нарахуванні процентів за рік за ставкою і/т. Позначимо ефективну ставку /,.

(1.12)

Безперервні проценти. Нарахування процентів на первісний капітал, або дисконтування нарощуванних сум, може здійснюватися так часто, що цей процес можна розглядати як безперервний. У цьому разі використовується нарахування безперервних процентів.

Формула обчислення нарощуваної суми при нарахуванні безперервних процентів має такий вигляд:

(1.14)

де є'" - множник нарощування безперервної капіталізації процентів;

І - ставка безперервних процентів;

п - кількість років.

п = кількість років

Ануїтет (фінансова рента) - рівномірні платежі або надходження, що здійснюються рівними частками через однакові інтервали протягом певного періоду. У випадку, коли платежі здійснюються на початку розрахункових періодів, вони мають назву пренумеранда. Якщо платежі здійснюються наприкінці розрахункових періодів, вони мають назву постнумеранда.

Узагальнюючими показниками ануїтета є його майбутня і теперішня вартість.

Майбутня вартість ануїтета. Коли платежі здійснюються щороку впродовж п років при процентній ставці і, майбутнє значення вартості ануїтета дорівнюватиме:

(1.17)

де F- майбутня вартість ануїтета;

- суми, що сплачуються в кінці кожного періоду в ануїтет;

і - процентна ставка;

п - кількість років.

Якщо платежі в кожен період дорівнюють А₁=А₂=...= А_П=А, то:

(1.18)

Перемножуючи обидві сторони рівняння (1.18) на (1 + і) й віднімаючи з нього рівняння (1.17), отримаємо:

(1.19)

Величина називається процентним фактором майбутньої вартості ануїтета, що може бути визначений шляхом прямого обчислення на

комп'ютері, або його значення може бути знайдене зі спеціальних таблиць. Позначимо його як

Формула (1.19) - це формула майбутньої вартості звичайного ануїтета, бо всі платежі (надходження) грошових коштів відбуваються в кінці періодів. Коли платежі відбуваються на початку кожного періоду, то в цьому разі ми маємо справу з авансовим ануїтетом. Його майбутня вартість визначається за формулою:

(1.20)

Теперішня вартість ануїтета. При використанні процедур дисконтування грошових потоків при оцінці інвестицій необхідно знати теперішню (інші назви -сучасну, наведену, поточну) вартість грошової суми, що може бути отримати в майбутньому. Якщо ми візьмемо формулу визначення майбутньої вартості грошей (1.7), то з неї ми можемо отримати вираз для розрахунку теперішньої вартості грошей:

(1.22)

Нехай для зручності Р = РV. Тоді РV - це теперішня вартість суми S_л, яку можна отримати, якщо б сума РV була вкладена на и років за складною процентпою ставкою i:

1/(1 + i)" - процентний фактор теперішньої вартості грошей, що показує, скільки потрібно зараз вкласти коштів за складною процентною ставкою і, щоб через п років отримати 1 грошову одиницю.

В багатьох задачах, що постають на практиці, грошові кошти повинні надходити або вкладатися в кінці кожного року за певний проміжок часу. Теперішня вартість ряду платежів (або надходжень) є сумою щорічнох окремих платежів (надходжень). Дана сума виражається такою формулою:

Де PVA – теперішня вартість грошей, що повинна бути отримана.

Вираз називається процентним фактором теперішньої вартості ануїтета. Позначимо його як

Теперішня вартість авансового ануїтета визначається як:

(1.28)