83

2. ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАЗРАБОТКИ ГАЗОВЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ ПРИ ВОДОНАПОРНОМ РЕЖИМЕ

2.1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ

МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ МНОГОФАЗНОЙ СМЕСИ УГЛЕ­ВОДОРОДОВ.

2.1.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.

Прежде чем сформулировать основные дифференциальные уравнения фильтрации, сделаем ряд общих замечаний, которые будут учитываться в настоящей работе.

При нестационарной фильтрации, как газированной нефти, так и газоконденсатной смеси, как правило, сжимаемость углеводородной жидкости вследствие растворенного в ней газа и сжимаемость чистого газа значительно превосходят сжимаемость породы и жидкости, находя­щейся в однофазном состоянии. Поэтому сжимаемостью породы обычно пренебрегают. Однако при рассмотрении задач о движении воды с рас­творенным в ней газом, когда сжимаемости пористой среди и воды всле­дствие влияния окклюдированного газа становятся соизмеримыми, пре­небрегать упругими свойствами породы уже нельзя. В настоящей рабо­те мы будем учитывать как сжимаемость породы, так и сжимаемость жидкой фазы. При этом сжимаемость жидкой фазы происходит как вслед­ствие влияния растворенного в ней газа, так и упругих свойств жидко­сти, подчиняющихся закону Гука.

Будем также считать, что фильтрация происходит к совершенной скважине и подчиняется закону Дарси. Как правило, нефтяные и газо­вые скважины являются несовершенными как по степени, так и по харак­теру вскрытия. При рассмотрении пространственной фильтрации несовер­шенство по степени вскрытия может быть достаточно полно учтено. Известно, что при нестационарной фильтрации вблизи забоя очень бы­стро возникает стационарная зона, в которой дебит практически оста­ется постоянным. Поэтому можно рассматривать задачу о нестационар­ной фильтрации к совершенной скважине с радиусом, на котором несо­вершенство по характеру вскрытия не сказывается, а в зоне стабилизации - стационарный приток к несовершенной скважине. Следует отме­тить, что нарушение закона Дарси происходит, в основном, в этой же зоне. Кроме того, нарушение закона Дарси можно учесть введением не­которого нелинейного коэффициента [2].

При использовании обобщенного закона Дарси для описания фильтрации много­компонентной многофазной смеси вводится понятие фазовой проницаемости. Как показано в ряде исследований [34] , фазовая проницаемость, вооб­ще говоря, оказывается не однозначной функцией насыщенности, а за­висит от давления и в случае фазовых переходов от межфазового натя­жения при изменении составов фаз. Однако при медленных изменениях давления и состава фаз в процессе нестационарной фильтрации, возмож­но рассматривать фазовые проницаемости как функции лишь насыщенностей. Вообще говоря, учет влияния межфазного натяжения может быть осуществлен достаточно просто [2, 36, 39]. При использовании однопараметрических зависимостей фазовой проницаемости в случае гази­рованной нефти получаются несколько завышенные значения параметров [34] .

В настоящей работе применяются зависимости фазовых проницаемостей только от насыщенности фаз.

2.1.2. Вывод основных дифференциальных уравнений фильтрации

МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ.

Рассмотрим в начале нестационарное изотермическое многофазное многокомпонентное течение нескольких взаимопроникающих флюидов в системе поровых каналов. Движение такой системы сопровождается не­прерывным обменом массами компонентов между фазами.

Уравнения неразрывности (баланса масс) для каждого компонента смеси имеют вид [5, 17]

(2.1.1)

где - скорости фильтрации, плотности, насыщенности пор фазой  , - массовые концентрации компонента " " в фазе  , - пористость пласта в точке, - пористость, зависящая от фазового давления, - плотность источников (стоков) по " " компоненту, - число рассматриваемых фаз, - чис­ло компонентов, - время.

Уравнения неразрывности для компонентов дополняются уравнениями движения, связывающими скорости фильтрации фаз с градиентами давле­ния. Согласно обобщенному закону Дарси связь между скоростями филь­трации и градиентами давления имеет вид (с учетом сил гравитации):

(2.1.2)

где - коэффициент проницаемости в точке пласта; - относительная фазовая проницаемость; - коэффициент динамической вязкости фазы; - давление в фазе; - вектор силы тяжести (гравитации), который будем рассматривать как вектор некоторой массовой силы [32]. Далее предположим, что поле массовых сил имеет потенциал . Тогда

(2.1.2a)

где - глубина залегания точки пласта , отсчитываемая от некоторой условной поверхности (ось глубин направлена вниз).

Обобщенный закон Дарси соответствует предположению, что основ­ное сопротивление течению пропорционально относительным скоростям фильтрации фаз в пористой среде. Условие пропорциональности сил меж­фазового взаимодействия фазовым скоростям соответствует принципу Онзагера для модели взаимопроникающих континиумов [18].

Комбинируя уравнения неразрывности для каждого компонента сме­си с обобщенным законом Дарси для каждой из фаз, получаем систему дифференциальных уравнений, описывающую многофазное изотермическое течение многокомпонентной смеси с учетом фазовых переходов компонен­тов из одной фазы в другую, сжимаемости породы и флюидов и действия гравитационных и капиллярных сил:

(2.1.3)

здесь - пористость в точке пласта, ,

- коэффициент, учитывающий упругоёмкость пласта,

- коэф­фициент пористости при атмосферном давлении .

Система (2.1.3) должна быть дополнена следующими замыкающими соотношениями:

(2.1.4)

В (2.1.4) - капиллярное давление между фазами   и  . При этом , где - безразмерная функция Леверетта, - контактный угол смачивания [92, 230]. Переменность компонентного состава фаз при фазовых переходах приводит к изменению межфазового натяжения . Последнее выражение (2.1.4), вообще говоря, соответствует условиям статического равнове­сия при насыщении порового пространства. Однако будем считать, что межфазовый обмен компонентов происходит при относительном движении фаз так же, как и в случае их покоя.

При наличии трех фаз существует по парный контакт трех фаз, а, значит, возникает необходимость в трех зависимостях между капилляр­ным давлением и насыщенностью. Экспериментально установлено, что капиллярное давление между газовой и водяной фазами можно считать равным сумме капиллярных давлений на границе между нефтяной и газо­вой фазами и на границе между нефтяной и водяной фазами. Кроме то­го, капиллярное давление между газовой и нефтяной фазами определяет­ся коэффициентом газонасыщенности, а капиллярное давление между вод­ной и нефтяной фазами - коэффициентом водонасыщенности.

Обычно фазовые проницаемости в случае двухфазной фильтрации получают экспериментально и в дальнейшем аппроксимируют в виде, на­пример, полиномиальных зависимостей от коэффициента насыщенности одной из двух фаз. Совместное движение трех фаз приводит к необхо­димости использовать фазовые проницаемости для газа, нефти и воды в предположении присутствия всех трех фаз. В этом случае эксперимен­тальное установление таких зависимостей затруднительно. В связи с этим воспользуемся подходом к оценке фазовых проницаемостей трехфазного потока, изложенным в работах Стоуна [43] или Роуза [41]. Этот подход дает, по крайней мере, правильную качественную картину изменения поведения относительных фазовых проницаемостей. При этом считается, что относительная фазовая проницаемость для газа зависит только от коэффициента газонасыщенности, относительная фазовая про­ницаемость для воды - только от коэффициента водонасышенности, а относительная фазовая проницаемость для нефти, как от коэффициен­та газонасыщенности, так и от коэффициента водонасыщенности.

При локальном термодинамическом равновесии компонентные соста­вы, а также плотности и вязкости фаз взаимосвязаны условием равен­ства химических потенциалов отдельных компонентов в сосуществующих фазах. Химический потенциал " "- го компонента в фазе   будет зависеть от всего состава фазы и фазового давления. Из-за этого, во­обще говоря, потенциалы должны зависеть, помимо состава фаз, также и от насыщенности в терминах капиллярного давления [18]. В пористой среде взаимодействия с твердыми поверхностями также могут влиять на величины химических потенциалов компонентов в фазах. Однако в первом приближении будем пренебрегать влиянием пористой среды на химические потенциалы.

Для закрытой равновесной термодинамической системы, а при локаль­ном термодинамическом равновесии в точке имеет место именно такая система, справедливо правило фаз Гиббса [18, 4]:

(2.1.5)

где - число степеней свободы /независимых переменных/ системы;

- число компонентов; - число фаз; - число внешних парамет­ров /обычно давление и температура/.

В случае двух компонентов и двух фаз = 2 и, следовательно, фазовые концентрации, плотности и вязкости фаз зависят только от давления и температуры системы. В случае трех компонентов и двух фаз = 3 и фазовые концентрации, плотности и вязкости уже зависят, помимо давления и температуры, от одной концентрации /или от их комбинации/, например,

Число степеней свободы открытой системы /такая рассматри­вается в задачах фильтрации/, равняется числу независимых переменных в уравнениях гидродинамики, а поскольку система уравнений должна быть замкнута, то и числу уравнений [4]:

( 2.1.6)

На практике обычно имеется два случая. Первый - течение нефти, из которой при снижении давления происходит выделение в свободное состояние растворенного в ней газа. Второй - течение углеводородной газовой смеси, для которой характерна ретроградная конденсация, т.е. выпадение жидкой фазы при снижении давления.

Практическое применение математических моделей упирается, с од­ной стороны, в трудности экспериментальных измерений для фазовых концентраций, плотностей и вязкостей фаз, с другой стороны, в боль­шое число дифференциальных уравнений при использовании расчетных методов определения фазовых концентраций, плотности и вязкости фаз / так называемые "композиционные модели"/. Поэтому приходится приме­нять простые модели, состоящие из двух или трех гипотетических ком­понентов. При этом возникает проблема сведения сложной многокомпо­нентной углеводородной смеси к бинарной или тройной гипотетической смеси.