1.1.3. Метод Гаусса и lu— разложение

Метод Гаусса упорядоченного исключения переменных использу­ется для приведения СЛАУ к верхней треугольной форме с последую­щим решением методом обратной подстановки. Оценка общего числа необходимых операций равна (2/3)п³, где п— число уравнений.

Метод Гаусса основан на разложении

L_1СL_2С… L_kС… L_n-1,СU=A,

где U— верхняя треугольная матрица; L_k,С— нижние столбцовые элементарные матрицы, поддиагональные элементы k-го столбца ко­торых находятся на k-м шаге факторизации следующим образом:

Обращение таких матриц осуществляется заменой знаков внедиа-гональных ненулевых элементов. Умножение матрицы А слева на обращает в ноль поддиагональные элементы k-го столбца матрицы А. Приведенное выше разложение может быть получено умножением матрицы А и получающихся из нее матриц на пары . Тогда

,

где .

Таким образом, исходную СЛАУ АХ = В привели к виду

далее, последовательно умножив левую и правую части на затем на и т.д., получим систему с матрицей коэффициентов при неиз­вестных в верхней треугольной форме:

_.

Решение осуществляется по следующему алгоритму:

1) Положить А(°) = А и выполнить шаги факторизации для k = 1,2,..., п - 1 в coответствии со следующими пунктами:

а)для каждого шага определить элементы матрицы L_kС , которые записывают на место обращаемых в ноль элементовматрицы

б)выполнить вычисление значений элементов преобразованной матрицы путем умножения на матрицу, обратную кL_kС:

i=k+1, k+2,…, n; j=k+1, k+2,…, n.

в) выполнить вычисление вектора правых частейВ^(k) путем умножения на матрицу, обратную кL_kС:

, i=k+1, k+2,…, n.

2. Полученную систему решить методом обратной подстановки, учитывая, что .

3. Конец алгоритма.

С целью повышения численной устойчивости реализуют алгоритм метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Для этого пе­ред выполнением пункта 1а алгоритма необходимо найти т такое, что и переставить местами строки с номерами т и k.

Данный пункт в матричной форме соответствует использованию матриц перестановок Р_тk- Тогда факторизация принимает вид

_.

Поскольку элементы матриц L_kcв данном алгоритме записывают на место обращенных в ноль элементов матрицыА, то можно решать много СЛАУ с различными правыми частями, не выполняя повторную. Учитывая свойства элементарных нижних столбцовыхматриц можно, заметить, что на месте матрицыА получено ее разложение в виде про­изведения нижней и верхней треугольных матриц:

LU = А,

где , называемогоLU— разложением.

Следует иметь в виду, что в результате применения алгоритма на главной диагонали матрицыАи над ней будут записаны элементы мат­рицы U, под диагональю — элементы матрицы L, но в силу того, что диагональные элементы заняты U, то для диагональных элементов Lместа нет. Однако в силу свойств нижних столбцовых элементарных матриц, на диагонали Lдолжны находиться только единицы, для их хра­нения отводить место не обязательно, достаточно просто иметь в виду, что они существуют и не забывать в расчетах.

Для получения LU—разложения необходимо опустить в приве­денном алгоритме пункты 1в, 2. Исходная система принимает вид

LUX= В

и может быть решена на основе типовых подходов.Обозначим Y = — UX, решим методом прямой подстановки систему LU = В, а затем методом обратной подстановки систему UX= Y. Получим искомый вектор X.

К недостаткам метода Гаусса можно отнести повышенную чувстви­тельность к особенностям матрицыА, невозможность его использова­ния для решения переопределенных систем, в которых число уравне­ний больше числа неизвестных.