1.1.2. Факторизация и типовые схемы решений

В ряде случаев решение СЛАУ может быть получено достаточно легко. Рассмотрим шесть важных вариантов вида матрицыА:

1. А представляет собой матрицу перестановок . Решение осу­ществляется путем присваивания , кроме переменных с индексами iи _.

2. А является ортогональной матрицей, обозначенной через Q. По­скольку Q^-1 = =Q^T, то решение QX = Всводится к формирова­нию Q^TB; так как Qчасто имеет вид элементарных ортогональ­ных преобразований (вращения, отражения), то алгоритм реше­ния строится простым и достаточно эффективным способом.

3. А есть невырожденная диагональная матрица D, i= 1,2,.. .,0, . Решением DX — В является . Матрицу Dобычно хранят в виде век­тора, не запоминают нулевые внедиагональные элементы.

4) А — невырожденная блочно-диагональная матрица DВ, у кото­рой на главной диагонали находятся обратимые блоки размера 2 x 1 или 1 х 1, а вне блоков стоят нули, например:

Решение находится решением соответствующих си­стем порядка 2х1 и 1х1.

5) А есть невырожденная нижняя треугольная матрица. Обозначим ее L, тогда

cистема LX = В решается прямой подстановкой: используя первое уравнение, найти , подставив его во второе уравнение, найти , затем подставив , х₂в третье уравнение, найти и т.д.

6) А есть невырожденная верхняя треугольная матрица, обознача­емая как U. Система UX= Врешается способом обратной под­становки с использованием уравнений от n-го до 1-го для нахо­ждения последовательно неизвестных от х_пдо .

В большинстве случаев матрица коэффициентов при неизвестныхАявляется матрицей общего вида, и прямое решение СЛАУ невозмож­но. Необходимо привести матрицуАк некоторым типовым формам.

Как правило, используется прием факторизации - разложения матриц на множители. Такой прием позволяет не только получить ре­шение СЛАУ, но также дает новые возможности для анализа матема­тических методов, разработки эффективных алгоритмов преобразова­ний и т.п.

Способы представления матриц в виде произведения сомножите­лей основываются часто на разложении вида

_{A=A(1)A(2)… A(}ⁿ_), ,

где каждое имеет специальную форму, удобную для решения.

Рассмотрим систему уравнений АХ = В. Пусть матрица А пред­ставлена в факторизованной форме, тогда можно выполнить замену переменных

_{Y1=(A(2)… A(n))x,} ,

а затем решить систему относительно , произвести за­мену переменных и решить систему вида и т.д., пока не будет получено решение системы у_п-1, где очевидно

X = Y_n.

Методы решения СЛАУ отличаются друг от друга видом множителей А⁽ⁱ⁾ и способом их построения.

Общий подход к решению СЛАУ может быть сформулирован так­же на основе теории линейных операторов. В этом случае приведение СЛАУ к типовой форме осуществляется путем действия на нее неко­торого линейного оператора

О (АХ = В),

в результате получается преобразование СЛАУ

А'Х = В',

гдеА' = ОА, В' = ОВ — преобразованные матрица коэффициентов при неизвестных и вектор правых частей.

Линейный оператор О как правило строится также в виде произ­ведения факторизованных матриц.

Преобразования в прямых методах основаны на исключении неиз­вестных из некоторых уравнений. Тем или иным способом осуществля­ется подбор множителей (делителей), на которые умножаются (делят­ся) строки (столбцы) матрицы А и выполняется операция вычитания, обращающая нужные элементы в ноль.