Глава 5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1. Типы задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники.

В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве известных входят функции y(x) и ее первые n производных по аргументу x:

(5.1)

Из теории ОДУ известно. Что уравнение (5.1) эквивалентно системе уравнений первого порядка

(5.2)

где k=1,…,n.

Уравнение (5.1) и эквивалентная ему система (5.2) имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип – это задачи Коши или задачи с начальными условиями. Для таких задач, кроме исходного решения (5.1), в некоторой точке должны быть заданы начальные условия, т.е. значение функции y(x) и ее производных:

Для системы ОДУ типа (5.2) начальные условия задаются в виде

(5.3)

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количе­ство условий должно совпадать с порядком псистемы. Если решение задачи определяется в интервале , то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Минимальный порядок ОДУ, для которых может быть сформулирована граничная за­дача, равен двум.

Третий тип задач дляОДУ - это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме исходных функций у(х) и их производных в уравнения входят дополнительно т неизвестных пара­метров , которые называют собственными значениями. Для единственности решения на интервале необходимо задать п + т граничных условий. В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов диссипации, струк­туры электромагнитных полей и механических напряжений в колеба­тельных системах, задачи нахождения фазовых коэффициентов зату­хания, распределения напряженности полей волновых процессов и т.д.

К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не уда­ется построить аналитическое решение задачи через известные функ­ции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений.

Большинство методов решения ОДУ основано на задаче Коши, ал­горитмы для которой рассматриваются в настоящей главе.

5.2. Метод Эйлера

Систему ОДУ (5.2) часто удается представить в каноническом ви­де, в так называемом виде Коши:

(5.4)

где k = 1,2,. ..,n.

При формулировке задачи Коши система (5.4) дополняется началь­ными условиями (5.3). Для простоты рассмотрим задачу Коши для од­ного уравнения типа (5.4), а затем полученные алгоритмы обобщим на систему пуравнений:

. (5.5)

В окрестности точки х₀функцию у(х) разложим в ряд Тейлора

(5.6)

который можно применить для приближенного определения искомой функции у(х). В точке при малых значениях hможно ограни­читься двумя членами ряда (5.6), тогда

y(x₀ + h) = y₀ + hy'(x₀) + O(h²), (5.7)

г

(5.8)

де O(h²) — бесконечно малая величина порядка h². Заменим произ­водную у'( ), входящую в формулу (5.7), на правую часть уравнения (5.5):

Теперь приближенное решение в точке = + h можно вновь рас­сматривать как начальное условие, и по формуле (5.8) найти значение искомой функции в следующей точке х₂ = + h. В результате полу­чен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера или методом ломаных. Последнее название связано с геометрической интерпретацией процесса (рис. 5.1); искомую функцию у(х) мы заменяем ломаной линией, представляющей собой отрезки ка­сательных к этой функции в узлах , ,...

Рис.5.1.Метод Эйлера

Формула (5.8) может быть получена и из других соображений. За­меним производную в левой части уравнения (5.5) приближенным ко­нечно-разностным отношением

Нетрудно видеть эквивалентность последнего выражения с алгорит­мом Эйлера (5.8).

На каждом шаге метода Эйлера решение у(х) определяется с по­грешностью за счет отбрасывания членов ряда Тейлора, пропорцио­нальных h в степени выше первой. Это означает, что метод Эйлера имеет второй порядок локальной погрешности. Глобальная погреш­ность, как показано в [19], имеет первый порядок и при постоянном шаге hдля оценки погрешности применима первая формула Рунге (4.14):

(5.9)

где — приближенное решение дифференциального уравнения в точке х, полученное с шагом h; — приближенное решение того же уравнения с шагом kh; p— порядок метода.

Фомула (5.9) позволяет опытным путем определять шаг h, обеспе­чивающий требуемую точность решения у(х). Так же, как и при вы­числении определенных интегралов, можно осуществить автоматиче­ское изменение шага в процессе интегрирования дифференциального уравнения.

Д

(5.10)

ля уточнения решения применима вторая формула Рунге (4.15):

Формула Эйлера (5.8) обобщается для системы ОДУ, записанных в форме Коши (5.4) с начальными условиями (5.3),

. (5.11)