4.10. Несобственные интегралы
Известно несколько приемов вычисления разных типов несобственных интегралов [1, 2]. Иногда удается заменой переменных перейти от интегралов с бесконечными пределами к интегралам с конечными пределами. Если подынтегральная функция после преобразования останется конечной на новом интервале, то для интегрирования можно использовать методы и программы, рассмотренные в предыдущих разделах. Довольно распространенным является способ образования верхнего предела интегрирования, при котором исходный несобственный интеграл разбивается на сумму двух интегралов:
. |
Затем оценивается аналитически, а иногда и численными методами модуль вторго интеграла, и при выполнении условия
|
в качестве приближенного значения несобственного интеграла выбирается величина интеграла в пределах [0,b].
Для вычисления
несобственных интегралов с бесконечными
пределами применимы и квадратурные
формулы Гаусса- Кристоффеля (4.46), узлы
и веса которых определяются в зависимости
от вида весовой функции
,
входящей под интеграл в форме произведения
.
Так, для интегралов
в пределах [
]
при
узлами
квадратурной формулы (4.46) являются корни
многочленов Лаггера
,
а весовые коэффициенты
определяются
через интеграл [2]:
|
,
(4.54)
где n – выбранное число узлов.
Как правило, в программах используют заранее вычисленные узлы и веса квадратурных формул, задаваемых в виде констант. В справочниках [10,18] имеются достаточно подробные таблицы узлов и весов квадратурных формул Гаусса-Кристоффеля для различных видов функции p(x) и различных чисел n.
Для интегралов в
пределах
узлами
квадратурной формулы (4.46) будут корни
многочленов Эрмита
,
а весовые коэффициенты определяются
по формуле, аналогичной (4.54), где интеграл
необходимо взять в бесконечных пределах.
Несобственные
интегралы с конечными пределами
интегрирования, но с подынтегральной
функцией, обращающиеся в бесконечность
в отдельных точках интервала [a,b],
вычисляют методами аддитивного или
мультипликативного выделения особенностей,
а также построения нестандартных
квадратурных формул [2]. При аддитивном
способе выделения особенности
подынтегральную функцию представляют
в виде суммы двух функций
,
где
-
ограниченная функция;
-
интегрируется аналитическими методами.
Для мультипликативного способа функция
f(x)
представляется в виде произведения
,
где
-
ограничена;
- положительная и интегрируемая на
отрезке [a,b]. Тогда можно применить
квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля,
которые требуют вычисления в узлах
функции
,
при этом
рассматривается
как весовая функция.
4.11. Вычисление кратных интегралов
В общем виде задача приближенного вычисления кратного интеграла формулируется так же, как и задача приближенного вычисления однократного интеграла, только полные производные заменяются частными производными, а узловые точки промежутка [a,b] - узловыми точками в области , по которой ведется интегрирование. Как и в случае однократного интеграла, величина интеграла заменяется линейной комбинацией значений интегрируемой функции в конечном числе точек области интегрирования , а именно:
|
(4.55)
где
-
область интегрирования;
-
элемент объема области;
-
узловые точки, причем
.
На случай вычисления кратного интеграла полностью переносятся приведенные выше методы вычисления однократного интеграла, с той разницей, что для кратных интегралов квадратурные формулы будут несколько сложнее и число их будет больше , так как из различных соображений интегрирование по разным переменным можно вести по разным квадратурным формулам.
Для вычисления двойного интеграла в случае квадрата может быть использована формула
, |
а при вычислении тройного интеграла в случае куба
, |
для схемы суммирования подобной (4.46).