4.8. Применение сплайнов для численного интегрирования

В разделе 2.5 рассмотрена интерполяция кубическими сплайнами, коэффициенты которых определяются из условий Лагранжа, условий непрерывности первой и второй производных в узлах и условий на кон­цах интервала. Вследствие этого коэффициенты всех сплайнов оказы­ваются связанными системой линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей.

Рассмотрим применение сплайнов для вычисления определенных интегралов или так называемую сплайн-квадратуру [9]. Пусть необхо­димо вычислить интеграл вида

(4.40)

Разобъем интервал на участки

на каждом из которых подынтегральную функцию f(x) заменим куби­ческим

сплайном :

где

Тогда интеграл (4.40) запишется как сумма интегралов от сплайнов:

Последняя формула упрощается при подстановке в нее выражений (2.25), (2.33) и (2.34) для коэффициентов и .

(4.41)

Нетрудно видеть, что первая сумма в формуле (4.41) есть форму­ла трапеций, а вторая сумма — поправочное слагаемое для формулы трапеций, примененное к сплайнам, так как при малых значениях коэффициенты и близки по величине, коэффициент сле­довательно,

.

Значит, погрешность сплайн-квадратуры меньше, чем погрешность ме­тода трапеций. Однако алгоритм интегрирования с помощью сплай­нов сложнее методов трапеций и Симпсона за счет необходимости ре­шения системы линейных уравнений для определения коэффициентов сплайнов . Поэтому рационально использовать сплайн-квадратурыв комплексе, когда сплайны применяются для сглаживания зависимо­стей, обработки экспериментальных данных и т.п.

4.9. Методы наивысшей алгебраической точности

Подынтегральную функцию f(x) так же, как и в методах Ньютона-Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Од­нако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения ин­терполяционного полинома выберем из условия обеспечения минималь­ной погрешности интегрирования. Впервые задача построения квадра­турных формул подобного типа была решена Гауссом для интеграловвида

(4.42)

а для интегралов

(4.43)

с произвольной весовой функцией р(х) — Кристоффелем [2].

Для того, чтобы узлы квадратурных формул не зависели от преде­лов интегрирования, линейными преобразованиями переменной х осу­ществляется переход к стандартным пределам [—1,1]:

(4.44)

где t— новая переменная.

Тогда интеграл (4.42) принимает вид

4.45)

Квадратурная формула Гаусса-Кристоффеля для интегралов типа (4.43) при пузлах содержит 2n параметров:

(4.46)

где — весовые коэффициенты; — узлы; R— погрешность квад­ратуры.

Полином степени 2п - 1 также имеет 2n коэффициентов. Следова­тельно, можно так подобрать параметры и , чтобы формула (4.46) была точной, т.е. R= 0 для полиномов степени не выше 2п - 1 [2, 1].

Так, при п = 1 квадратура (4.46) будет точной для полиномов нуле­вой и первой степени. Этому требованию удовлетворяет метод средних прямоугольников, который является простейшим из методов Гаусса-Кристоффеля для весовой функции р(х) = 1.

В случае двух узловых точек (п = 2) квадратура будет точной для полиномов не выше третьей степени (2n—1 = 3). Пусть подынтеграль­ная функция интеграла (4.45) представима полиномом с коэффициен­тами

(4.47)

Тогда интеграл от полинома принимает значение

. (4.48)

Интерполяционный полином Ньютона, совпадающий в узлах созначениям подынтегральной функции и , будет иметь первую степень (рис. 4.6):

, (4.49)

где .

Рис. 4.6. Метод Гаусса при n=2

Возьмем интеграл от полинома(4.49) и подставим в результат значения функции(4.47) в узлах t и :

(4.50)

Сравнивая первые части выражений (4.48) и (4.49), получим систему двух уравнений относительно узлов и

откуда получим

. (4.51)

При таких узлах формула(4.46) с учетом соотношений (4.50) принимает вид

(4.52)

где

Узлы и являются корнями полиномов Лежандра второй степени.

Весовые коэффициенты равны единице.

С увеличением числа узлов их значениями остаются корни полиномов Лежандра степени n, а весовые коэффициенты определяются через узлы по формуле [2]:

.

В таблице 4.2 приведены значения абсцисс и весов для квадратурных формул Гаусса методов порядка n.

Таблица 4.2. Абсциссы и веса для квадратурной формулы Гаусса

n	Абсциссы	Веса
2
3
4
5

Верхняя граница погрешности квадратурной формулы Гаусса оценивается выражением [2]

(4.53)

которое позволяет сделать вывод об эффективности метода для интегрирования функции высокой гладкости.