4.6. Методы Ньютона-Котеса

В формулах Ньютона-Котеса порядок полинома п, которым за­меняется подынтегральная функция f(x) может принимать различные значения. В этом случае на интервале [а, b] интеграл равен

(4.34)

где — коэффициенты Ньютона-Котеса; — общий знаменатель дробей, выражающих коэффициенты в формуле численного интегри­рования; — относительные координаты (на промежутке [0,1])узло­вых точек, по которым строится интерполирующий полином.

В табл. 4.1 приведены значения и , входящих в формулу (4.34), для п= 1... 5 и выражения для главного члена погрешности . При п = 1 формулы Ньютона-Котеса дают формулу трапеций, п = 2 — формулу Симпсона.

Таблица 4.1. Коэффициенты формулы Ньютона-Котеса

n = 1	=2	=1 =1	=0 = 1
п = 2	=6	=1 = 4 с3 = 1	=0 = 1/2 = 1
п = 3	= 8	= 1 = 3 = 3 = 1	=0 = 1/3 = 2/3 = 1
п= 4	= 90	= 7 = 32 =12 = 32 =7	=0 = 1/4 = 2/4 = 3/4 = 1
п = 5	= 288	= 19 = 75 =50 = 50 = 75 =19	=0 = 1/5 = 2/5 = 3/5 = 4/5 =1

4.7. Вычисление интегралов с заданной точностью

Программная реализация формул Рунге или Эйткена позволяет вы­числить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществля­ется автоматически. При этом, конечно, можно использовать много­кратное обращение к подпрограммам соответствующих методов инте­грирования, не изменяя алгоритмов самих методов. Однако для ме­тодов, использующих равноотстоящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтеграль­ной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования.

Так, два приближенных значения и интеграла

(4.35)

вычисляемые по методу трапеций с шагами и , связаны соот­ношением

(4.36)

где

_.

Формула (4.36) получена методом математической индукции. Если выбирать начальный шаг интегрирования , то приближен­ное значение интеграла (4.35) по методу трапеций запишется в виде

(4.37)

где

При уменьшении шага вдвое получим приближенное значение того же интеграла:

, (4.38)

г

_.

де

Сравнение формул (4.37) и (4.38) позволяет записать сотношение между значениями S₀и S₁

которое позволяет получать приближенное значение интеграла с шагом , вычислив подынтегральную функцию только в одном допол­нительном узле . Продолжая процесс уменьшения шага интегри­рования вдвое, приходим к формуле (4.36), по которой каждое новое приближенное значение интеграла (4.35) получаем, вычислив допол­нительно подынтегральную функцию только в узле. Обращение же к программе метода трапеций потребовало бы вычисления функции в ( + 1) узле.

Аналогичным способом получены соотношения между двумя при­ближенными значениями и интеграла (4.35), вычисляемые по методу Симпсона с шагами и .

, (4.39)

где