4.2. Методы прямоугольников

Рассмотрим сначала простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию f(x)на интервале ин­тегрирования заменяем полиномом нулевой степени, т.е. константой. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке интервала интегрирования. Приближенное значение интеграла опре­делится как площадь прямоугольника, одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая — аппроксимирующая кон­станта. Отсюда происходит и название методов. Как будет показано ниже, из методов прямоугольников наименьшую погрешность имеет метод средних прямоугольников, когда константу берем равной значе­нию f(x)в средней точке х интервала интегрирования [x_i-1, x_i](рис. 4.2).

f(x)

х ₀ х х ₁ х_п х

Рис. 4.2. Метод средних прямоугольников

Методы левых (рис. 4.3,а) и правых прямоугольников (рис. 4.3,б), заменяющих интеграл нижней и верхней суммами Дарбу, имеют срав­нительно высокую погрешность (рис. 4.3).

1. х₀ х₁ х_п х б) х₀ х₁ х_п х

Рис. 4.3. Методы левых (а) и правых (б) прямоугольников

Запишем выражение для интеграла в интервале [x_i, x_i + h], полу­ченное методом средних прямоугольников

x_i + h

∫ ƒ(x)dx =hƒ( )+ R, (4.3)

x_i

где = x_i +h/2;R = J_точн-J_прибл , и оценим погрешность R. Для этого разложим подынтегральную функцию ƒ(x) в ряд Тейлора около средней точки x:

(4.4)

в малой окрестности точки xэтот ряд с высокой точностью представ­ляет функцию f (x)при небольшом количестве членов разложения. По­этому, подставляя под интеграл вместо функции f (x)ее тейлоровское разложение (4.4) и интегрируя его почленно, можно вычислить инте­грал с любой наперед заданной точностью:

h³

=hƒ( )+—ƒ″( )+ …. (4.5)

24

При интегрировании и подстановке пределов получаем, что все инте­гралы от членов ряда (4.4), содержащих нечетные степени (x — ) , об­ращаются в нуль.

Сравнивая отношения (4.3) и (4.5), можно записать выражение для погрешности R. При малой величине шага интегрирования h основной вклад в погрешность Rбудет вносить первое слагаемое, которое на­зывается главным членом погрешности R_oiвычисления интеграла на интервале [x_{i ,}x_i + h]:

h³

R_0i=—ƒ″(x_i) . (4.6)

24

Главный член полной погрешности для интеграла на всем интерва­ле [x₀ ,x_n] определится путем суммирования погрешностей на каждом частичном интервале [x_i,x_i+ h]:

(4.7)

К последнему интегралу мы перешли, используя метод средних прямо­угольников для функции f"(x).

Формула (4.7) представляет собой теоретическую оценку погреш­ности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, эта оценка является априорной, так как не требует знания значения вычис­ляемого интеграла. Оценка (4.7) не удобна для практического вычис­ления погрешности, но полезна для установления структуры главного члена погрешности. Степень шага h, которой пропорциональна вели­чина R₀, называется порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок.

Аналогично проведем априорную оценку метода левых прямоуголь­ников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около точ­ки x= x_i:

. (4.8)

Интегрируя разложение (4.8) почленно на интервале , получим

где первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычис­ленное по методу левых прямоугольников, второе слагаемое является главным членом погрешности

(4.9)

На интервале главный член погрешности интегрирования получим суммированием частичных погрешностей (4.9):

(4.10)

Таким образом, метод левых прямоугольников имеет первый поря­док, кроме того, погрешность будет больше по сравнению с методом средних за счет интеграла от производной f'(x) и коэффициента в зна­менателе (4. 10). Обычно для большинства функций выполняется нера­венство

Однако, если подынтегральная функция f(x) определяется из экс­перимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоуголь­ников применить нельзя из-за отсутствия значений f(x) в средних точ­ках . В этом случае для интегрирования используются другие методы Ньютона-Котеса.