3.4. Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной

Построим систему базисных функций φ_k(x)так, чтобы обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве узловых точек (3.5), тогда матрица Грамма (3.4) будет диагональной, что позволит отказаться от использования процедур численного решения системы нормальных уравнений.

В зависимости от распределения погрешности обрабатываемых дан­ных можно построить полиномы дискретной переменной, ортогональ­ные с соответствующими дискретными весовыми функциями p(x_j). Из классических ортогональных полиномов дискретной переменной из­вестны полиномы Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье[12].

Рассмотрим алгоритм [1, 13] построения полиномов Чебышева t_k(x) дискретной переменной, которые являются важным частным случаем полиномов Хана с единичной весовой функцией. Полином нулевой сте­пени выберем единичным

t₀ (x) = 1, (3.14)

а полином первой степени возьмем в виде

t₁ (x) == х - a₁, (3.15)

где коэффициент a₁ определим из условий ортогональности

(t₀ ,t₁) = 0. (3.16)

Запишем условие (3.16) в развернутом виде

п п п

∑ l(x_i – а₁) = ∑ х _k - a ∑ l = 0,

i=0 i=0 t=0

откуда получим

п

а₁= ∑ x_i /(n + l). (3.17)

i=0

Полином второй степени также представим в общем виде с неопре­деленными коэффициентами а₂₁и а₂₀:

t₂(x) = х² + а₂₁х + а₂₀,

которые найдем из двух условий ортогональности:

(t₀ , t₂) = 0, (t_1, t₂) = 0.

Аналогичным способом запишем ортогональный полином степени k:

t _k(x) = х^k + а_k,_k-1х^k-1+…+ а_k0.

Для полиномов Чебышева дискретной переменной установлена двухслойная рекуррентная формула [13], по которой можно вычислить по­лином любой степени через начальные полиномы (3.14) и (3.15):

t_k+1(x) = (x- a _k+1) t _k(x) – b _k+1 t _k-1(x), (3.18)

где

n n

a_{k+1 =} ∑ x _i t_k ² (x _i) ⁄ ∑ t _k (x _i)

i=0 i=0

(3.19)

n n

b_{k+1 =} ∑ t_k ² (x _i) ⁄ ∑ t_k-1 ² (x _i)i=

0i=0 i=0

Аппроксимирующая функция φ(x)определяется, как и ранее (3.3), в виде линейной комбинации базисных функций, в качестве которых теперь выбраны полиномы Чебышева дискретной переменной t_k(x):

m

φ(x) ₌ ∑c_kt_k(x). (3.20)

k=0

Вследствие диагональноcти матрицы Грамма коэффициенты с_kли­нейной комбинации (3.20) определяются как частные от деления пра­вых частей (3.6) системы нормальных уравнений на диагональные эле­менты этой матрицы:

n n

c_{k =} ∑ ƒ(x_i)t_k(x_i) ⁄ ∑t_k² (x_i). (3.21)

i=0 i=0

При увеличении количества базисных функцийв сумме (3.20) не придется пересчитывать коэффициенты с_k, определенные с меньшим значением m.

3.5. Линейный вариант метода наименьших квадратов

На практике довольно часто оказывается возможным при обра­ботке экспериментальных данных ограничиться построением линей­ной аппроксимирующей функции

φ(x) = а + bх. (3.22)

Для многих нелинейных зависимостей с двумя параметрами аи b можно свести нелинейную зависимость к линейной

φ' (х) = а'(х) + b'

с помощью преобразования х→x' и ƒ→ƒ'[1,2, 14]. После про­ведения линейной регрессии получим значения a'и b', которые после преобразований a' → аи b' → bдают искомые параметры а и bнели­нейной зависимости. Преобразования, сводящие нелинейную зависи­мость к линейной даны в табл.3.1.

Таблица 3.1. Преобразования х, увх', у' и а', b' вa, b

№	Функция φ (х)	х'	у'	а	b
1	2	3	4	5	6
1	ах + Ь	x	y	а'	b'
2	1/(ах + b)	x	1/y	а'	b'
3	b + а/х	1/х	y	а'	b'
4	х/(ах+ b)	x	х/у	а'	b'
5	bах	x	lg y	10а′	10b′
6	bеах	x	In у	а'	e b′

7	b10ах	x	lg y	а'	10b′
8	1/(аех + b)	e -х	1/y	а'	b'
9	bха	lg x	lg y	а'	10b′
10	b + a lgx	lg x	y	а'	b'
11	b + a In х	In x;	y	а'	b'
12	b/(а + х)	x	1/y	b'/а'	1/а'
13	bх/(а + х)	1/х	1/y	b'/а'	1/а'
14	bеа'х	l/x	In x	а'	е b′
15	b10а/ж	1/х	lgx	а'	10b′
16	b + ахn	xn	y	а'	b'

Для коэффициентов а и b (см. формулу (3.22) из общего алгоритма МНК получим выражения

(3.23)

где

(3.24)

, — узлы и значения аппроксимируемой функции в них; n — коли­чество узлов.

Погрешность вычисления коэффициентов (3.23) определяется по формулам

(3.25)

,

где — коэффициент Стьюдента для пизмерений и доверительной вероятности £ [15].

Среднеквадратичное отклонение аппроксимирующей функции φ(x)от исходной определяется по формуле (3.1).